高三数学大一轮复习讲义 1.1集合的概念与运算 理 新人教a版

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1、§1.1　集合的概念与运算【2014高考会这样考】　1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力．【复习备考要这样做】　1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解．1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数

2、集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB(或BA)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x

3、x∈A或x∈B}A∩B＝{x

4、x

5、∈A且x∈B}∁UA＝{x

6、x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.[难点正本　疑点清源]1．正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．2．注意空集

7、的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．3．正确区分∅，{0}，{∅}∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.1．(2012·江苏)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.答案　{1,2,4,6

8、}解析　A∪B是由A，B的所有元素组成的．A∪B＝{1,2,4,6}．2．已知集合A＝{x

9、a－1≤x≤1＋a}，B＝{x

10、x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．答案　(2,3)解析　集合B中，x2－5x＋4≥0，∴x≥4或x≤1.又∵集合A中a－1≤x≤1＋a.∵A∩B＝∅，∴a＋1<4且a－1>1，∴2

11、mx＋1＝0}，若A∪B＝A，则m的可能取值组成的集合为________．答案　解析　∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴当B＝

12、∅时，m＝0；当－1∈B时，m＝1；当2∈B时，m＝－.∴m的值为0,1，－.4．(2012·江西)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z

13、z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为(　　)A．5B．4C．3D．2答案　C解析　当x＝－1，y＝0时，z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z

14、z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素的个数为3.5．(2011·北京

15、)已知集合P＝{x

16、x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围为(　　)A．(－∞，－1]B．[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案　C解析　由P＝{x

17、x2≤1}得P＝{x

18、－1≤x≤1}．由P∪M＝P得M⊆P.又M＝{a}，∴－1≤a≤1.题型一　集合的基本概念例1　(1)下列集合中表示同一集合的是(　　)A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)

19、x＋y＝1}，N＝{y

20、x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2

21、,3)}(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征．答案　(1)B　(2)2解析　(1)选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有的点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1