§4–7微分基础知识导学

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1、§4–7微分基础知识导学1．定义如果函数y=f(x)在点x的某一邻域内有定义，且当自变量x有改变量Δx时，函数y有改变量ΔyΔy=f(x+Δx)-f(x)=A•Δx+o(Δx)(Δx→0)其中A与Δx无关，则称A•Δx为函数f(x)在点x处的微分，记作dy或df(x)即dy=A•Δx或df(x)=A•Δx此时也称函数y=f(x)在点x处可微。当A≠0时函数的微分dy=A•Δx也称作函数的改变量Δy的线性主部。2．可微与可导的关系定理函数y=f(x)在x点可微的充要条件是：函数y=f(x)在x点可导。换言之，若函数y=

2、f(x)在x点可导，则它在x点可微，且dy=fˊ(x)Δx；反之若函数在x点可微dy=A•Δx，即，则它在x点可导，且fˊ(x)=A又因自变量的微分就等于自变量的改变量，即dx=Δx，所以dy=fˊ(x)dx有fˊ(x)=即函数y=f(x)在x处的导数等于函数的微分与自变量的微分之商，故导数也称作微商。3．微分的几何意义yΔyOx0x0+ΔxxdyMy=f(x)函数f(x)在处的微分dy=fˊ(x0)dx即为切线MT上的点的纵坐标的增量（如图所示）dy=

3、NT

4、4．微分的基本公式和运算法则由dy=fˊ(x)dx和导数

5、的基本公式，可得如下微分基本公式：（1）d(C)=0（C为常数）（2）d()=dx(为任意实数)（3）d(sinx)=cosxdx（4）d(cosx)=-sinxdx（5）d(tgx)=sec2xdx（6）d(ctgx)=-csc2xdx（7）d(ax)=axlnadx（8）d(ex)=exdx（9）d(loga

6、x

7、)=dx(a>0，a≠1)（10）d(ln

8、x

9、)=dx（11）d(arcsinx)=dx（12）d(arccosx)=dx（13）d(arctgx)=dx（14）d(arcctgx)=dx（15）d(

10、shx)=chxdx（16）d(chx)=shxdx（17）d(thx)=dx对应于求导的运算法则有下面的微分运算法则：（1）d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)（2）d[u(x)v(x)]=du(x)v(x)+u(x)dv(x)（3）d[cu(x)]=cdu(x)（4）（5）5．一阶微分形式不变性与复合函数求导法则相对应的微分运算为下面的微分形式不变性质：定理设有复合函数，若u=在x点处可微，y=f(u)在对应点u处可微，则复合函数y=f[]在点x处可微，并且dy=fˊ(u)du因为由复合函数运算法则=

11、•知dy=dx=•dx=•du即dy=•du对照dy=•du和公式dy=dx说明不论u是自变量还是中间变量，函数微分的形式是完全一样的，故称为微分形式不变性。6．微分在近似计算中的应用（1）微分进行近似计算的理论依据对于函数,若在点处可导且导数，则当很小时，有函数的增量近似等于函数的微分,即有近似公式.(2)微分进行近似计算的4个近似公式设函数在点处可导且导数，当很小时，有近似公式，即，，令，则，特别地，当，很小时，有.重点难点突破微分和导数一样也是微积分的基本概念，在理解微分的概念时，要注意以下几点：（1）函数的微

12、分是函数改变量的线性主部由于函数y=f(x)在点x处有导数fˊ(x)，由定义，有=fˊ(x)又由极限与无穷小量的关系，有=fˊ(x)+α其中α是当Δx→0时的无穷小量，因为Δx≠0，所以Δy=fˊ(x)Δx+α•Δx又因为，所以α•Δx是比Δx高阶的无穷小量。fˊ(x)Δx是Δx的一次函数，因为一次函数的图像是直线，所以也叫线性函数。当Δx很小且Δx→0时，α•Δx可以忽略不计，所以fˊ(x)Δx成为Δy的主要部分，称为线性主部。当fˊ(x)≠0时可以用微分近似代替函数的改变量，即Δy≈fˊ(x)Δx也就是当Δx很小

13、时，dy=fˊ(x)Δx是Δy的近似值。（2）由以上的分析可知，若函数y=f(x)在点x处可导，可将微分的定义记为dy=fˊ(x)dx因为自变量x的改变量Δx等于自变量的微分dx，所以把dy=fˊ(x)Δx改写为dy=fˊ(x)dx形式，此时也称函数y=f(x)在点x处可微。（3）微分的几何意义是y=f(x)图像上一点(x，f(x))处切线的纵坐标的改变量。（4）微分运算中一般用微分运算法则求函数的微分比直接用公式dy=fˊ(x)dx求微分更有规律一些，不易出错，对某些比较复杂的函数更会显出其优点。（5）微分与导数的

14、关系因为函数在一点处可导必可微，可微必可导，所以二是等价的。两者的区别：①导数是函数在一点上的变化率，即这点上切线的斜率；微分是函数在这一点上改变量的线性主部，即切线纵坐标的改变量。②导数值只跟x有关，而微分不仅跟x有关，还跟Δx有关。③导数多用于关于函数性质理论上的研究；而微分多用于近似计算和微分运算（如微分方程的微分运算）等。（6）补充结论