高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦导学案 苏教版必修4

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1、3.1.2　两角和与差的正弦学习目标重点难点1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，并能利用公式化简求值．2．能记住两角和与差的正弦、余弦公式特征．3．能逆用公式进行化简求值.重点：两角和与差的正弦公式的推导及利用公式化简求值．难点：灵活运用公式进行化简求值.1．两角和与差的正弦公式(1)两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝__________(α，β∈R)(2)两角差的正弦公式：sin(α－β)＝__________(α，β∈R)答案：(1)sinαcosβ＋cosαsinβ(2)sinαcosβ－cosαsinβ预习交流1你能结合三角函数诱导

2、公式，由公式C(α＋β)或C(α－β)推导出公式S(α－β)吗？提示：能．sin(α－β)＝cos＝cos＝coscosβ－sinsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ或sin(α－β)＝cos＝cos＝coscosα＋sinsinα＝－sinβcosα＋cosβsinα＝sinαcosβ－cosαsinβ.2．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)．其中cosθ＝，sinθ＝.预习交流2你会求函数y＝sinx＋cosx的周期与最小值吗？提示：∵y＝sinx＋cosx＝＝＝sin，∴周期为T＝2π，最小值为－.预习交流3

3、(1)化简sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ的结果应为__________．(2)计算sin43°cos13°－sin13°cos43°的值等于__________．(3)已知cosαcosβ＝－sinαsinβ，则cos(α－β)＝__________.(4)sin－cos的值是__________．提示：(1)sinα　(2)　(3)　(4)－一、给角求值(1)求sin157°cos67°＋cos23°sin67°的值；(2)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值．思路分析：(1)的形式与公式有差异，应先由诱

4、导公式化角，再逆用公式求值．(2)所给角有差异，应先拆角，将角统一再用公式，θ＋75°＝(θ＋15°)＋60°，θ＋45°＝(θ＋15°)＋30°.解：(1)原式＝sin(180°－23°)cos67°＋cos23°sin67°＝sin23°cos67°＋cos23°sin67°＝sin(23°＋67°)＝sin90°＝1．(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos60°＋cos(θ＋15°)sin60°＋cos(θ＋15°

5、)cos30°－sin(θ＋15°)sin30°－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.1．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于__________．答案：1解析：原式＝sin15°cos75°＋cos15°sin(180°－75°)＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin(15°＋75°)＝sin90°＝1．2．sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．答案：1解析：原式＝sin[

6、(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1．解答此类题目首先利用诱导公式化角，一般式子中只能涉及两个角，再根据两角和与差的公式形式，逆用公式求值．二、给值求值已知cosφ＝，当(1)φ∈；(2)φ∈时，分别求sin.思路分析：在已知cosφ＝和φ的取值范围的前提下，要求sin，只需把sinφ求出再应用公式即可得出．解：(1)∵cosφ＝，又φ∈，∴sinφ＝＝.∴sin＝sincosφ－cossinφ＝×－×＝.(2)∵cosφ＝，又φ∈，∴sinφ＝－＝－.∴sin＝sincosφ－cossinφ＝×－×＝.1．已知sin(α－β)·cosα－cos

7、(α－β)·sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ等于__________．答案：－解析：∵sin(α－β)·cosα－cos(α－β)·sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sinβ＝m，∴sinβ＝－m.又β为第三象限角，∴cosβ＝－＝－.2．已知α，β是锐角，且sinα＝，cos(α＋β)＝－，求sinβ的值．解：∵α是锐角，且sinα＝，∴cosα＝＝＝.又∵cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，∴sin(α＋β)＝＝.∴sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.(1)已知某些角

8、的三角函数值，求其他角的三角函数值，解