《数列的极限》word版

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1、数列的极限典型例题讲解例1．求.分析：当n∞时，－3n3+2n2－n∞，4n3－3n2+2n－1∞，是一个型的问题，可以设法变形，使之出现的形式。因为当a>0时，0，为此只需将分子分母同除以n3即可。解：=.例2．设a∈R，求的值。分析：求极限时，涉及到qn型的极限，当

2、q

3、<1时，qn0；q=1时，qn1；q=－1时，qn的极限不存在；

4、q

5、>1时，qn的极限也不存在。因此，在变形时，设法出现

6、q

7、<1时qn的形式，为此必须对

8、a

9、与2的大小分类讨论。解：（1）当

10、a

11、>2时，，则原式=；（2）当

12、a

13、<2时，，则原式=；（3）

14、当a=2时，原式=；（4）当a=－2时，原式=.例3．求.分析：当n∞时，所求的极限相当于0·∞型，需要设法化为我们相对熟悉的型。解：=.说明：对于这种含有根号的0·∞型的极限，可以采用分子有理化或分母有理化来实现。如本题是通过对分子有理化，从而化简为，成为型。数列的极限例4．求.分析：当n∞时，分子与分母都是无穷多项的和，对于这类极限，应先求和，再求极限。解：=.例5．已知，求实数m的取值范围.分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决。解：，于是，即－4

15、中，运用了逆向思维，由可知，的极限必为0，而qn0的充要条件是

16、q

17、<1，于是解不等式.例6．若k为常数，且，存在，求的值。分析：本题是在knan以及an的极限存在的情况下，求(1－n)an的极限。从直觉可以感到，knan，当n∞时有极限－1，显然knan是一个0·∞型的数列，可以猜测an的极限是0，所以这种猜测使我们想到必须先求出an的极限值，这样才可以用极限四则运算的法则求出的值。解：由，可得，于是，又由，得，于是=.例7．数列{an}的前n项和记为Sn，已知an=5Sn－3(n∈N+)，求的值。分析：为求a1+a3+a5+…

18、…+a2n－1当n∞时的极限，应先求an的表达式。从已知条件中给出的an与Sn的关系式，可以利用an=Sn－Sn－1(n≥2)，设法求出an的表达式。解：由a1=S1，及a1=5S1－3=5a1－3，可得a1=,又n≥2时，an=Sn－Sn－1，则an=5Sn－3，an－1=5Sn－1－3，两式相减得an－an－1=5Sn－5Sn－1=5an，∴an=－an－1，数列的极限于是{an}是以为首项，－为公比的等比数列，进而可得数列a1,a3,a5,……,a2n－1是以为首项，(－)2=为公比的无穷等比数列，∴=.数列的极限一、选择题

19、1．有下列四个命题：（1）若an2=A2，则an＝A；（2）若an>0，＝A，则A>0；（3）若=0，则；（4）若=A，则=A2，其中正确命题的个数是（）．（A）0（B）1（C）2（D）32．等比数列{an}的首项为a1=－1，前n项和为Sn．且，则Sn等于（）（A）（B）－（C）2（D）－23．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则=（）（A）1（B）（C）（D）4．已知，，则的值（）（A）是（B）是（C）是6（D）无法确定5．的值为b，则a的值（）．（A）是4（B）是2（C）是－2（D）不确定二、填空题6

20、．的值等于（）（A）1（B）（C）（D）07．已知等差数列{an}公差d>0，a1>0，Sn=，则Sn＝8．＝。9．已知数列{an}，且＝2，则＝．10．已知a、b为常数，且=1，则a＝，b＝．三、解答题11．设f(x－1)＝x＋x2＋……＋xn，x≠0，x≠1，且f(x)中x的系数为Sn，x3的系数为Tn，求．12．设x是方程x2－

21、2x－1

22、－4＝0的正根，且f(n)=，求13．已知数列{an}的首项a1＝b（b≠0），它的前n项和Sn=a1+a2＋……＋an（n∈N+），并且S1，S2，……，Sn是一个等比数列，其公比为p（

23、p≠0且

24、p

25、