《课数列的极限》word版

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1、第28课数列的极限●考试目标主词填空1.数列极限的定义可叙述为如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a，那么就说数列{an}以a为极限.2.数列极限的运算法则.设an=A，bn=B，则(an±bn)=A±B.(an·bn)=A·B.，B≠0.3.数列极限的常见类型.①型，其中f(n)与g(n)都是关于n的多项式.②可有理化型：当分子或分母含有根式时，通过有理化后求极限.③qn型，(q为常数)其极限存在的充要条件是q∈.4.数列极限的直接应用.（1）求无穷数列的和；（2）计算数列的

2、极限.5.两个结论：（1）单调有界的数列必有极限；（2）=e=2.718281828….●题型示例点津归纳【例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S3=9，又设bn=anqn(n∈N)，其中常数q满足(1+q+q2+…+qn)=，试求数列{bn}的前n项和S*及S*.【解前点津】由条件，先确定an的表达式及q值，再确定bn的表达式.【规范解答】设{an}的公差为d，则由.∴an=a1+(n-1)d=2n-1，又因(1+q+q2+…+qn)==，知

3、q

4、<1且=，∴q=.∴bn=(2n-1)·()n

5、S=bk=(2k-1)·()k=2k·()k-()k=-(n+)·-=1--，∵是单调递减数列，∴=0.∴S=(1--)=1--=1-0-0=1.【解后归纳】凡属形如的数列，常分离为，其前n项和等于两个数列与前n项和之后的和，前者使用“错项相减”求和，后者直接应用公式求和.【例2】计算下列各题的极限.(1)；(2)tan()；(3)；(4)；(5)(··…).【解前点津】(1)着眼于分子分母的首项；(2)原式可化为tan；(3)构造qn；(4)先求和，后计算极限；(5)运用分数指数的运算性质.【规范解答】(1)

6、因式分子的次数小于分的次数，故原式=0；(2)原式=tan=tan=tan0=0；(3)原式=的极限=；(4)原式==·(n-1)·n(2n-1)=；(5)原式===3=31-0=3.【解后归纳】运用极限的运算法则的前提是：“极限存在”.故在实际应用时往往对式子进行变形，对无穷项之和的极限运算，不能直接应用法则，而必须先求和，后算极限!【例3】利用补充的有关结论，计算下列极限.(1)；(2)；(3).【解前点津】(1)=·.(2)==.(3)分离成三个分式之和的极限.【规范解答】(1)原式=·=e·1=e.(2)

7、原式==·=·=e2·1=e2.(3)原式==++=0+0+0=0.【解后归纳】若An=A，则：A=(An)2=A2.在应用结论=e时，要注意模型［1+f(n)］的含义，其一是f(n)=0，其二是：f(n)与互为倒数.【例4】已知数列{xn}各项如下：x1=，x2=，x3=，…，(a>0).求xn.【解前点津】由条件可知xn+1=既然xn的极限存在，则必有xn=xn+1=xn+2=…=xn+m(且m是常数)，等式两边取极限即可求得.【规范解答】设xn=A，则xn+1=A，又因xn+1=，故有xn+1==，∴A=A2

8、=a+A，A2-A-a=0.而A>0故此一元二次方程正根A=.【解后归纳】若数列{an}的极限存在，则极限值必然是惟一的，且an=an+1=…=a2n=….●对应训练分阶提升一、基础夯实1.的值为()A.1B.2C.3D.42.的值为()A.1B.C.D.3.的值为()A.1B.C.D.4.cos(-)的值为()A.-1B.1C.0D.±15.若a是大于1的常数，则的值为()A.1B.0C.aD.-a6.等比数列{an}的公比q=-，则的值为()A.1B.-2C.-4D.-7.数列{an}和{bn}都是公差不为0

9、的等差数列，且=3，则：的值为()A.0B.3C.D.8.的值等于()A.-1B.0C.1D.9.若=2004，则动点M(a，b)描绘的图形是()A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线10.当n充分大时，下面大小关系正确的是()A.2nn2004C.2n=n2004D.以上都不是二、思维激活11.若=0，则a=，b=.12.数列的通项公式为an=(3-5x)n，若an存在，则x的取值范围是.13.··…=.14.若f(n)=1+2+3+…+n(n∈N*),则：=.三、能力提高15.(1)已知an=

10、1+2+4+…+2n，求；(2)(a>0).16.{an}是首项为1，公比为sinα(0<α<)的等比数列，又bn=(a1·a2·a3…an)，Sn=b1+b2+…+bn.求Sn的值.17.设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n项的和为Sn，又设Tn=(n=1，2，…),求Tn.18.数列{an}，{bn}满足(2an+bn)=1，(a