2012-2013高中数学 3-2-3均值不等式习题课同步检测 新人教b版必修5

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1、3.2第3课时均值不等式习题课基础巩固一、选择题1．若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是(　　)A.≤　　　　　B.＋≥1C.≥2D.≥1[答案]　B[解析]　取x＝1，y＝2满足x＋y≤4排除A、C、D选B.具体比较如下：∵0

2、x＋－1＝－－1≤－2－1＝－2－1，等号在x＝－时成立，排除B.3．设实数a，b，x，y满足a2＋b2＝1，x2＋y2＝3，则ax＋by的最大值是(　　)A．2B.C.D.[答案]　B[解析]　令a＝cosα，b＝sinα　α∈[0,2π)，x＝cosβ，y＝sinβ，β∈[0,2π)．∴ax＋by＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)≤.∴ax＋by的最大值为.4．已知x≥，则f(x)＝有(　　)A．最大值B．最小值C．最大值1D．最小值1[答案]　D[解析]　f(x)＝＝＋，∵x≥，∴x－2≥，f(x)≥2＝1.当且仅当x＝3时等号成立．5．设M＝(－1)(－1

3、)(－1)，且a＋b＋c＝1(其中a，b，c∈R＋)，则M的取值范围是(　　)A．[0，)B．[，1)C．[1,8)D．[8，＋∞)[答案]　D[解析]　∵a＋b＋c＝1，∴M＝(－1)(－1)(－1)，＝(＋)(＋)(＋)≥2·2·2＝8.∴M∈[8，＋∞)．6．若x、y是正数，则(x＋)2＋(y＋)2取得最小值是(　　)A．3　　B.　　C．4　　D.[答案]　C[解析]　(x＋)2＋(y＋)2＝x2＋＋＋y2＋＋＝x2＋＋y2＋＋＋.∵x2＋≥2＝1，y2＋≥2＝1，＋≥2，当且仅当时成立，即x＝y＝时，(x＋)2＋(y＋)2取得最小值为4.二、填空题7．(2010·山东文)已

4、知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．[答案]　3[解析]　∵x>0，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3，当且仅当＝，即x＝，y＝2时取等号．8．已知a、b为实常数，函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值为__________[答案]　(a－b)2[解析]　从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式≥()2更简捷．∴y＝(x－a)2＋(x－b)2≥2[]2＝.当且仅当x－a＝b－x，即x＝时，上式等号成立．∴当x＝，ymin＝.三、解答题9．已知a>0，b>0

5、，c>0，d>0，求证：＋≥4.[解析]　＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b且c＝d时，取“＝”)．10．已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．[解析]　x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2等号在＝即＝时成立∴x＋y的最小值为(＋)2＝18又a＋b＝10，∴ab＝16.∴a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.能力提升一、选择题1．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列x，c，d，y成等比数列，则的最小的值是(　　)A．0　　B．

6、1　　C．2　　D．4[答案]　D[解析]　由题意，得，∴＝＝＝＋2，∵x>0，y>0，∴＋2≥2＋2＝4(当且仅当x＝y时，取“＝”号)．2．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)A．2　　　B．4　　　　C．6　　　D．8[答案]　B[解析]　∵x、y、a∈R＋，∴(x＋y)(＋)＝1＋＋＋a≥1＋2＋a＝(1＋)2，即9≤(1＋)2，∴a≥4，故选B.二、填空题3．2008年的四川大地震震惊了整个世界，四面八方都来支援．从某地出发的一批救灾物资随17列火车以v千米/小时速度匀速直达400千米以外的灾区，为了安全起见，两辆火车的间距不

7、得小于()2千米，问这批物资全部运送到灾区最少需__________小时．[答案]　8[解析]　物资全部运到灾区需t＝＝＋≥8，当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，∴tmin＝8.故这批物资全部运送到灾区最少需要8小时．4．(2010·浙江文)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．[答案]　18[解析]　∵x>0，y>0，∴2x＋y≥2，∴2x＋y＋6＝xy≥2＋6，∴()2－2－6≥0，解得≥3，即xy≥18.三、解答