2014届高考数学一轮复习 第59讲《抛物线》热点针对训练 理

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1、1.抛物线y＝4x2的准线方程为(D)A．x＝－1B．y＝－1C．x＝－D．y＝－　2.(2012·山东省莱芜市上期末)正三角形一个顶点是抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，另两个顶点在抛物线上，则满足此条件的正三角形共有(C)A．0个B．1个C．2个D．4个解析：由抛物线的对称性可知，另两个顶点一组在焦点的下方，一组在焦点的上方，共有两组，故选C.　3.(2012·郑州市第一次质量预测)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若

2、BC

3、＝2

4、BF

5、，

6、且

7、AF

8、＝3，则此抛物线方程为(C)A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝x解析：分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为E，D，如图．因为

9、BC

10、＝2

11、BF

12、，由抛物线的定义可知

13、BF

14、＝

15、BD

16、，∠BCD＝30°.又

17、AE

18、＝

19、AF

20、＝3，所以

21、AC

22、＝6，即F为AC的中点，所以p＝

23、EA

24、＝，故抛物线的方程为y2＝3x，故选C.　4.(2012·山东省临沂市3月一模)若抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程为　y2＝8x　.解析：由条件知－＝－2，所以p＝4，故抛物

25、线的方程为y2＝8x.　5.(2012·皖南八校第二次联考)抛物线x2＝ay过点A(1，)，则点A到此抛物线的焦点的距离为　　.解析：由已知可得1＝a，所以a＝4，所以x2＝4y.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于A到准线的距离：yA＋＝＋1＝.　6.(2013·衡水调研卷)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为　y2＝±8x　.解析：由题可知抛物线的焦点坐标为(，0)，于是过焦点且斜率为2的直线l的方程为

26、y＝2(x－)，令x＝0，可得A点坐标为(0，－)，所以S△OAF＝··＝4，所以a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x.　7.(2012·山西大学附中第二学期3月考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足

27、NF

28、＝

29、MN

30、，则∠NMF＝　　.解析：过N作NQ⊥准线于Q，则

31、NQ

32、＝

33、NF

34、.因为

35、NF

36、＝

37、MN

38、，所以

39、NQ

40、＝

41、MN

42、，所以cos∠QNM＝＝，所以∠QNM＝，所以∠NMF＝∠QNM＝.　8.(2012·重庆市七区第一次联考)在平面直角坐标

43、系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程．解析：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2＝2px，因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p＝1，所以抛物线C的标准方程为y2＝2x.(2)由(1)可得焦点F的坐标为(，0)，又直线OA的斜率为1，所以与直线OA垂直的直线的斜率为－1.所以过点F，且与直线OA垂直的直线的方程为y－0＝－1(x－)，即x＋y－＝0.　9.如图，在平面直角坐标系xOy中，

44、已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.(1)求抛物线的标准方程；(2)设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦AB的长为4，求证：圆C过定点．解析：(1)由抛物线的定义得＋4＝5，则p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.(2)证明：设圆心C的坐标为(，y0)，半径为r.因为圆C在y轴上截得的弦长为4，所以r2＝4＋()2，故圆C的方程为(x－)2＋(y－y0)2＝4＋()2，整理得(1－)y－2yy0＋(x2＋y2－4)＝0，①对于任意的y0

45、∈R，方程①均成立．故有，解得.所以圆C过定点(2,0)．