函数的单调性(5)

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1、函数的单调性主讲教师：丁益祥【知识概述】1.函数的单调性（1）定义如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数.（2）利用定义证明函数在给定区间单调性的步骤：①取值：设为该区间内任意的两个值，且;②作差变形：作差，并通过通分、因式分解、配方等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；③定号：确定差值的符号；④判断：根据定义作出结论.2.函数的单调区间如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区

2、间.3.最值（1）一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的，都有；②存在，使得.6数学·必修1那么，我们称M是函数的最大值.（2）设函数的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意的，都有；②存在，使得.那么，我们称m是函数的最小值.【学前诊断】1．[难度]易函数在上单调递.2．[难度]易函数在实数集上是增函数，则（）A．B．C．D．，且3．[难度]中下列四个函数在其定义域上为增函数的是（）A．B．C．D．【经典例题】例1．如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．6数学·必修1解：因为的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为直线，如图．

3、注意到在区间上是减函数，故可得，∴．因此选A.例2.已知函数的定义域是R.（1）求实数m的取值范围；（2）当m变化时，若函数的最小值为，求的值域.解：（1）函数的定义域是R，即在R上恒成立.当时，，此时．当时，函数的图象开口向上，且与x轴最多有一个交点，所以，得，故．综上，，因此实数的取值范围是．（2）当时，；当时，，此时在上递减，在上递增，所以，故．综上，，即的值域是．6数学·必修1例3．函数，对任意的，都有，并且当x>0时，；（1）求；（2）判断在R上的单调性并证明你的结论；（3）若，求在区间上的最大值和最小值.解：（1）令，则，∴.（2）在上是减函数.证明如下：任取，且，

4、则．因为，所以，，所以，因此在上是减函数.（3）由（2）知，在上是减函数．所以，．【本课总结】1.判断函数单调性（或单调区间）的方法（1）图象法：先作出函数图象，利用图象直观判断函数的单调性；（2）直接法：对于我们熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调性或单调区间；6数学·必修1（3）利用一些常见结论：①当c>0时，函数与函数具有相同的单调性；当c<0时，函数与函数具有相反的单调性.②若，则函数与具有相反的单调性.③在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数.④当函数和的单调性相同时，复合函

5、数是增函数；当函数和的单调性相异时，复合函数是减函数.口诀：同增异减2.函数的单调性是针对某个区间而言的，所以要受到区间的限制，在不同的区间上可以有相同的单调性，但这些区间不能用“”将区间并在一起.3.二次函数的单调性:当抛物线开口向上时，在对称轴左侧的区间，函数递减；在对称轴右侧的区间，函数递增；当抛物线开口向下时，在对称轴左侧的区间，函数递增；在对称轴右侧的区间，函数递减．4.一般地，欲使函数当时恒有，只需当时成立；欲使函数当时恒有，只需当时成立．5.函数单调性的应用：（1）利用函数的单调性求函数的最值；（2）利用函数的单调性比较函数值的大小；（3）用函数的单调性解不等式；

6、（4）利用函数的单调性求参数的取值范围.【活学活用】1．[难度]易定义在上的函数对任意两个不相等实数，总有成立，6数学·必修1则必有（）A．函数是先增加后减少B．函数是先减少后增加C．在上是增函数D．在上是减函数2.[难度]中已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）．A.B.　C.D.3.[难度]难已知函数，若在区间是增函数，求实数的取值范围．6数学·必修1