5、函数的单调性1

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1、函数的单调性设函数f(x)的定义域为I:一、函数的单调性注:函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上可能是减函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,那么就说f(x)在这个区间上是增函数;如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.二、单调区间三、用定义证明函数单调性的步骤

2、③在单调区间上,增函数的图象自左向右看是上升的,减函数的图象自左向右看是下降的.3.判定差的正负;4.根据判定的结果作出相应的结论.注:①函数的单调区间只能是其定义域的子区间;②函数的单调区间是连续区间,若区间不连续,应分段考查.作商:f(x1)/f(x2)时，要注意分母。1.取值:对任意x1,x2∈M,2作差:;复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下：函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=f[g(x)]增减减增四、复合函数的单调性6.奇偶性:7.反函数:奇函数在对称区间上具有相同

3、的单调性;偶函数在对称区间上具有相反的单调性.互为反函数的两个函数在各自的定义域上具有相同的单调性.五、函数单调性的判定方法1.定义法:主要适用于抽象函数或已知函数.2.导数法:适用于具体函数.3.图像法:4.复合函数单调性的判定:5.和函数单调性的判定:六、两类问题的区别1.函数f(x)的单调递增(或递减)区间是D:2.函数f(x)在区间D上单调递增(或递减):不等式f(x)>0(<0)的解集是区间D;不等式f(x)≥0(≤0)对于xD恒成立.若函数f(x)可导,解题分析:因函数定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)且f(x)是奇函数,所以所以可以先讨

4、论函数在(0,+∞)上的单调性.例1.试用定义求函数f(x)=ax+(a>0,b>0)的单调区间.xb例1.试用定义求函数f(x)=ax+(a>0,b>0)的单调区间.xb解法2:∵函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数f(x)的导函数f(x)=a-=,bx2ax2-bx2∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-)与(,+∞),abab函数f(x)的单调递减区间是(-,0)与(0,).abab令f(x)<0得:x2<-0得:x2>x<-或x>;ababab例1.试求函数f(x)=ax+(

5、a>0,b>0)的单调区间.xb②求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题,但必须注意,如果函数的解析式含有参数,而且参数的取值影响函数的单调区间,这时必须对参数的取值进行分类讨论.注:①这个函数的单调性十分重要,应用非常广泛,它的图象如图所示:oyx2ab-2abbaba-【解题回顾】含参数函数单调性的判定，往往对参数要分类讨论.本题的结论十分重要，在一些问题的求解中十分有用，应予重视.变式题:例1.试求函数f(x)=ax+(a>0,b>0)的单调区间.xb例2.试讨论函数y=2log2x-2logx+1的单调性.1212解:令t=logx,则t关于

6、x在(0,+∞)上单调递减.12而y=2t2-2t+1在(-∞,]上单减,在[,+∞)上单增,1212又由t≤得x≥,1222由t≥得00得:x<-1或01.故g(x)的单调递增区间是(-∞,-1)与(0,1);单调递减区间是(-1,0)与(1,+∞).练习.已知f(x)=8+2x-

7、x2,若g(x)=f(2-x2),试确定g(x)的单调区间.例3.已知f(x)是定义在R上的增函数,对x∈R有f(x)>0,且f(5)=1,设F(x)=f(x)+,讨论F(x)的单调性,并证明你的结论.f(x)1分析:这是抽象函数的单调性问题,应该用单调性定义解决.解:在R上任取x1,x2,设x1f(x1)且:F(x2)-F(x1)=[f(x2)+]-[f(x1)+]f(x1)1f(x2)1=[f(x2)-f(x1)][1-].f(x1)f(x2)1∵f(x)是R上的增函数,且f(5)=1,∴当x≤5时0

8、5时f(x)≥1.①若x1