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1、第十章无穷级数习题详解第十章无穷级数习题10-11.写出下列级数的前五项:（1）;（2）;（3）;（4）.解（1）（2）（3）（4）.2.写出下列级数的一般项:(1);(2);(3);(4)().解（1）因为，，，因此一般项(2)因为，因此一般项（3）因为，，因此一般项（4）因为，，，-37-第十章无穷级数习题详解因此一般项.3.判定下列级数的敛散性:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）;（8）;（9）（）;(10).解（1）因为当时，，故级数发散.（2）因为,当时，，故级数收敛.(3)因为，-37
2、-第十章无穷级数习题详解当时，，故级数收敛.（4）因为由于不存在，所以不存在，因而级数发散.（5）因为当时，，故级数收敛.(6)该级数的一般项，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.(7)该级数为公比的等比级数，该级数收敛，而该级数为公比的等比级数，该级数也收敛，故也为收敛级数.(8)该级数的一般项，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.-37-第十章无穷级数习题详解(9)因为当时，，故该级数收敛.(10)该级数的一般项，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.4.证明下列级数收敛，并求其和：.证当时，，故该级数
3、收敛，且.5．若级数与都发散时，级数的收敛性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级数收敛性又如何？解若级数分别为；(发散)；（发散）则级数显然收敛；但是如果另外有级数，则级数显然发散。即两个发散的级数相加减所得级数可能收敛，也可能发散。若其中一个级数收敛，另一个发散，则肯定发散.若不然，-37-第十章无穷级数习题详解收敛，则应该收敛，与假设矛盾.同理，若收敛,则应该收敛，与假设矛盾.习题10.21.用比较判别法或其极限形式判定下列各级数的敛散性：（1）;（2）1+;（3）;（4）;（5）.解（1）由于而级数收敛，由
4、比较判别法的极限形式，故原级数收敛.(2)由于，而级数发散，由比较判别法的极限形式，故原级数发散.（3）由于而级数收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛.（4），而为公比-37-第十章无穷级数习题详解的等比级数，该级数收敛，由比较判别法,故级数也收敛.（5）由于，而收敛，故也收敛.2.用比值判别法判别下列级数的敛散性：（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）.解（1），，故该级数收敛.（2），故该级数发散.（3），，故该级数收敛.（4），-37-第十章无穷级数习题详解，故该级数收敛.（5），，故该级
5、数收敛.（6），，故该级数发散.（7），，故该级数收敛.3.用根值判别法判定下列各级数的敛散性：（1）;（2）;（3）;（4）;（5），其中均为正数；（6）．解（1）由于，故该级数收敛.(2)由于，故该级数发散.(3)由于，-37-第十章无穷级数习题详解故该级数发散.(4)由于，故该级数发散.(5)当，该级数收敛；当，该级数发散；当，不能判断.(6)1）当时，该级数发散2）当时，有当，该级数收敛；当，该级数发散；当，根值法不能判断.4.判别下列级数的敛散性：（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）；（7）.解（
6、1），，故该级数收敛.（2），所以发散.(3)，故该级数收敛.(4),因，-37-第十章无穷级数习题详解故，而收敛，故该级数收敛.(5),因,有,收敛，由比较收敛法，故该级数收敛.(6),因，，而级数收敛，由比较收敛法，故该级数收敛.(7),(由罗比达法则)，故该级数收敛.5．判别下列级数是否收敛？若收敛的话，是绝对收敛还是条件收敛？（1）;（2）;（3）;（4）;（5）（不为负整数）;（6）;（7）;（8）.解（1），显然为交错级数，且，，故该级数收敛，又因为是级数，，故发散，即原级数是条件收敛.-37-第十章无穷
7、级数习题详解(2)因为，，故收敛，即原级数是绝对收敛。(3)因为,,而收敛，故收敛，即原级数是绝对收敛。(4),显然为交错级数，且，，故该级数收敛。又因为，而发散，故发散，即原级数是条件收敛.(5),显然为交错级数，且，，故该级数收敛；又因为，而发散，故发散，即原级数是条件收敛.(6),显然为交错级数，且，，故该级数收敛，又因为，因，由比较收敛法，而发散，故发散，即原级数是条件收敛.(7)因为,因,而，收敛，故收敛，即原级数是绝对收敛。-37-第十章无穷级数习题详解(8)因为，，故收敛，即原级数是绝对收敛。习题10.
8、31.求下列幂级数的收敛域：（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）;（8）;（9）;（10）.解（1），，所以收敛半径当时，原级数为，，该级数发散当时，原级数为，，该级数发散因而该级数的收敛域为.(2),所以收敛半径.当时，原级数为，为交错级数，该级数收敛.-37-第十章无穷级数习题详解当时，原级数为，该级数也收敛,因而该级数的
