从力做的功到向量的数量积(学案

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1、§5从力做的功到向量的数量积一、教学目标：1.知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义。（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；向量的夹角。（3）掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用。2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义。通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性

2、和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点:向量数量积的概念、物理意义、几何意义及其性质；向量数量积的运算律.难点:对向量数量积概念的理解和应用。三.学法(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.四.教学设想创设问题情景，引出新课1、问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、问题2：两个向量之间能进行乘法运算吗？物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？阅读课文第91页实例分析。回答下列问题：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W=qsF（2）这个公式

3、有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量，④q是。0°≤q＜90°时，w0，力做功；q=90°，w0，力不做功；90°＜q≤180°，w0，力做功。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?（4）如果我们将公式中的力与位移的运算推广到一般向量，其结果又该如何表述？还应该注意什么问题？探究问题：1、向量的夹角：已知两个非零向量与，作=，=，∠AOB=qOABq（0°≤q≤180°）叫作向量与的夹角。当q=0°时，与同向；当q=180°时，与反向；当q=90°时，与垂直，记作⊥。规定：零向量可与任一向量垂直。画出以下几组向量的夹角：练习：在中已知A=

4、45°，B=50°，C=85°。求下列向量的夹角：（1）（2）（3）的夹角。2、射影的概念叫作向量在方向上的射影。BAOBAOBAOOABAOB给出如下六个图形，让学生指出在方向上的射影，并判断其正负。注意：①射影也是一个数量，不是向量。②当q为锐角时射影为值；当q为钝角时射影为值；当q为直角时射影为；当q=0°时射影为；当q=180°时射影为3、数量积的定义：已知两个向量与，它们的夹角为θ，我们把数量︱︱·︱︱cosθ叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·=︱︱·︱︱cosθ注意：①不能写成或的形式。②两个向量的数量积是一个数量。这个数量的大小与这两个向量的长度及夹角有关。其正

5、负如何确定？当为锐角时，>0；当为钝角时，<0；当时，=0；当时，；当时，。数量积的几何意义：数量积·等于的长度︱︱与在方向上投影的乘积，或的长度︱︱与在方向上投影的乘积。数量积的物理意义：力F与其作用下物体位移s的数量积4、向量数量积的性质请完成下列练习，并通过观察，看看自己能否发现向量数量积的性质。（1）已知，为单位向量，当它们的夹角为时，求在方向上的投影及性质为：（2）已知，，与的交角为，则性质为：（3）若，，、共线，则性质为：（4）已知，，且，则与的夹角为性质为：性质：（2）Û^Û0**，（≠0）5、运算定律：已知向量、、和实数λ，则：1.交换律：·=·2.数乘结合律：（λ）

6、·=λ（·)=·（λ）3.分配律：（+）·=·+·巩固深化，发展思维判断下列各题是否正确。①若=，则对任一向量，有·=0.()②若¹，则对任一非零向量，有·¹.()③若¹，·=0，则=.()④若·=0，则、至少有一个为零.()⑤若¹，·=·，则=()⑥对任意向量，，，有(·)·¹·（·）()⑦对任意向量，有·=

7、

8、2.()应用与提高例1、（1）已知︱︱=5,︱︱=4,与的夹角θ=120°，求·。（2）已知︱︱=6，︱︱=4,与的夹角为60°，求（+2）·（-3），

9、+2

10、；并思考此运算过程类似于哪种实数运算？例2、对任意向量，b是否有以下结论：（1）(+)2=2+2·+2（2）(+)

11、·(-)=2—2学习小结：（学生总结，其他学生补充）①向量的夹角、射影、向量的数量积.②向量数量积的几何意义和物理意义.③向量数量积的五条性质.④向量数量积的运算律.⑤体现了数形结合的数学思想。随堂练习：1、课本第93页1、2.2、已知，则=，=.3、已知：︱︱=2,︱︱=3,与的夹角θ=120°，求（3+）·（-2）五、评价设计（一）、课后作业：1、课本P95习题2-5，2、4、62、拓展与提高：已知与都是非零向量，且+3与7-5垂直，-4与7-2垂直，