数学三2014)第3讲导数应用

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1、第三讲导数的应用（解答）一．内容提要1、三个微分中值定理：罗尔定理（用来证与某函数的导数有关的方程根的存在性，注意辅助函数的构造、与零点定理的异同）；拉格朗日定理（可用来证不等式，从函数的导数的性质来说明函数本身的性质）；柯西定理（注意有两个函数，这一点有时在解题时是一个提示）。2、单调性；应用（证不等式，根的唯一性）。3、极值、最值：极值的定义，求法（先求驻点及不可导点，再用第一或第二充分条件判别）；第二充分条件的扩充；应用（证不等式，根的唯性）；最值的求法与应用题。4、曲线的凹凸性与拐点（注意曲线方程的不同

2、给法）。5、泰勒公式（怎么展开，某项系数的求法，余项的写法）及应用（证不等式；求极限等）。6、函数作图与曲线的渐近线的求法。水平渐近线：则是水平渐近线。铅垂渐近线：，则是铅垂渐近线。斜渐近线：，则是斜渐近线。考试要求：*理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日(Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．*会用洛必达法则求极限．*．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．*．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区

3、间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．*．会描述简单函数的图形．二．常考知识点1、洛必达法则求极限．2、利用导数确定函数的性质（单调性、极值、凹凸性、拐点等），函数可以是显式、隐式、参数方程形式）。3、求曲线的渐近线（水平、铅垂、斜渐近线）。4、利用导数方法，求实际问题中的最大、小值问题。173、利用微分中值定理，证明函数属性。4、证明函数不等式（常数不等式也可转化为函数不等式证明）。一．例题1．与中值定理的相关题目例1．设在上二阶可导，，。证明（1）存

4、在，使得。（2）存在，使得。证明不妨设，则一定存在一定存在有零点定理存在（2）在上使用ROLLE定理存在使得在上使用ROLLE定理存在使得例2．设在[0，1]上可微，。证明存在，使得。证明由，由积分中值定理令在上满足ROLLE定理的条件，存在使得即17例1．在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，，试证（1）存在，使得。（2）对任意的存在使得。证明（1）令在上满足零点定理的条件，存在使得即（2）令在上满足rolle定理的条件，存在使得即例2．在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，试证（1）存在，使得。（2）存

5、在两个不同的，使得。证明（1）令在上满足零点定理的条件，存在使得即。（2）对函数在上使用拉格朗日定理存在使得所以例A设在（-1，1）内具有二阶连续导数，且，试证：17（1）（-1，1）内的任意，存在唯一的使得成立。（2）。证明因为在（-1，1）内具有二阶连续导数，所以有拉格朗日中值定理如果存在那么即与矛盾，所以（-1，1）内的任意，存在唯一的使得成立。（2）有泰勒公式介于0和之间即有：即从而即例B在上连续，在内可导，且。若存在，证明：（1）在内；（2）在内存在，使。证明（1）若存在，由于17（2）；令，则在上满

6、足柯西中值定理的条件，故内存在，使得即1．不等式的证明（结合单调性，极值等）例C证明时，。证明令即从而时，。例6：证明时，（1）；（2）。证明（1）令则17即时，；（2）令则即从而即例7.：证明时，。证明令在上满足拉格朗日中值定理，即有（其中）即当时，。3、洛必达法则例5：已知当时，函数与为等价无穷小，求和解17所以。19：已知当时，函数与是等价无穷小，则(A)(B)(C)(D)解例D求极限解因为所以原式=。法二：用泰勒公式，因为当时，17所以原式=例E求极限解原式=例20：求极限解原式=其中原式=4、讨论方程

7、根的存在情况（结合单调性，极值等）例F问方程有几个实根？解令的定义域为令得驻点17故在处取得极大值（1）时方程有2个实根（2）时方程有1个实根（3）时方程没有实根。例8.证明方程恰有两个实根。解令    00极小值极大值，17所以方程恰有两个实根。例9、给出方程，就的不同取值，讨论方程根的个数。解令的定义域为令且所以时方程只有一个实根得驻点故在处取得极小值（1）时方程有2个实根（2）时方程有1个实根（3）时方程没有实根综上所述：（1）时方程有2个实根（2）时方程有1个实根（3）时方程没有实根（4）时方程只有一个

8、实根5.单调性、曲线凹凸性及拐点、函数的极值与最值17例10.已知函数在其定义域内为单调的，求的取值范围。解函数在其定义域内为单调的，则例11.设函数由确定，求曲线上凸的的取值范围。解，曲线上凸的，则所以例12：设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性。解对方程求导，将代入上式，得根据保号性曲线在点（1，1）附近是凸的。例13．求函数在内的极值。解17所以函数在取得极小值