第3章 第3讲 导数的应用(二).ppt

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1、最新考纲1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；2．会利用导数解决某些简单的实际问题．第3讲　导数的应用(二)1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)，并确定函数的定义域．(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0．(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．(4)回归实际问题作答．知识梳理2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造

2、函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．(1)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定．()(2)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．()(3)连续函数在闭区间上必有最值．()(4)函数f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值．()诊断自测√×√√答案C3．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当

3、MN

4、达到最小时t的值为()答案D4．若函数f(x)＝x3－3x＋

5、a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_________．解析由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)＜0，即(a＋2)(a－2)＜0，故a∈(－2,2)．答案(－2,2)5．(人教A选修11P104A5改编)如图，用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为am2．为使所用材料最省，底宽应为_________m．考点一　利用导数解决生活中的优化问题【例1】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r

6、米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．答当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，【训练3】(2014·重庆九校联考)已知函数f(x)＝x2－6x＋4lnx＋a(x＞0)．(1)求函数的单调区间；(

7、2)a为何值时，方程f(x)＝0有三个不同的实根．[思想方法]1．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．2．由不等式的恒成立(存在性)求参数问题．首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而列出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数最值问题．[易错防范]1．若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，

8、要注意“＝”是否可以取到．2．实际问题中的函数定义域一般受实际问题的制约，不可盲目地确定函数的定义域；在解题时要注意单位的一致性；把实际问题转化成数学问题后，要根据数学问题中求得的结果对实际问题作出解释．