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时间:2018-12-24
《八年级数学下册 数学活动(三)导学案 新人教版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数学活动(三)【导学目标】1.展示与研究勾股定理的证明方法.2.设计一个测量风筝高度的方案.【导学重点】进行两个活动.【导学难点】活动1.【学法指导】合作探究.【课前准备】搜集勾股定理的证明方法.【导学流程】一、呈现目标、明确任务研究一些勾股定理的证明方法和勾股定理的应用.二、教师引导活动一、证明勾股定理的方法很多.大家把自己搜集来的方法展示给小组成员,并进行研究与交流.(见附.)活动二、小红和小军周日去郊外放风筝,风筝飞得又高又远,他俩很想知道风筝离地面到底有多高,你能帮帮他们吗?四、点拨升华、当堂达标活动二,可以构造直角三角
2、形,风筝的竖直高度、放风筝的点到风筝正下方之间的距离为直角边,风筝线为斜边.附:勾股定理的证明【证法1】(课本的证明)做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为、,斜边长为,再做三个边长分别为、、的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是+,所以面积相等.即,整理得.【证法2】(邹元治证明)以、为直角边,以为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.
3、∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90º,∴∠AEH+∠BEF=90º.∴∠HEF=180º―90º=90º.∴四边形EFGH是一个边长为的正方形.它的面积等于2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90º,∴∠EHA+∠GHD=90º.又∵∠GHE=90º,∴∠DHA=90º+90º=180º.∴ABCD是一个边长为+的正方形,它的面积等于.∴.∴.【证法3】(赵爽证明)以、为直角边(),以为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把
4、这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90º,∴∠EAB+∠HAD=90º,∴ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º.∴EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于.∴.∴.【证法4】(1876年美国总统Garfield证明)以a、b为直角边,以为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE
5、,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90º,∴∠AED+∠BEC=90º.∴∠DEC=180º―90º=90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于.又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于.∴.∴.【证法5】(梅文鼎证明)做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED,∵
6、∠EGF+∠GEF=90°,∴∠BED+∠GEF=90°,∴∠BEG=180º―90º=90º.又∵AB=BE=EG=GA=c,∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90º.即∠CBD=90º.又∵∠BDE=90º,∠BCP=90º,BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.【证法6】(项明达证明)做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的
7、多边形,使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC,交AC于点P.过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点F作FN⊥PQ,垂足为N.∵∠BCA=90º,QP∥BC,∴∠MPC=90º,∵BM⊥PQ,∴∠BMP=90º,∴BCPM是一个矩形,即∠MBC=90º.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º,∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º,∴∠QBM=∠ABC,又∵∠BMP=90º,∠BCA=90º,BQ=BA=c,∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】(梅文鼎证明).【证法7
8、】(欧几里得证明)做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结BF、CD.过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L.∵AF=AC,AB=AD,∠FAB=∠GAD,∴ΔFAB≌ΔGAD,∵ΔFAB的面积等于,Δ
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