九年级数学下册 29.1.1几何问题的处理方法（1）教案 华东师大版

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1、§29.1.1几何问题的处理方法（1）【教学目标】：使同学们用合情推理与逻辑推理的方法证明几何问题，并能熟练应用，从而进一步理解证明在数学学习中的必要性。【重点难点】：重点：合情推理与逻辑推理的方法是教学重点。难点：合情推理与逻辑推理的方法。【教学过程】：一、给出问题，学习讨论，回忆现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD，如图(2)所示，你能发现什么现象吗?请你尽可能多的写出结论。可让学生有充分的时间观察、思考、交流，可能得到的结论：(1)等腰三角形是轴对

2、称图形(2)∠B＝∠C(3)BD＝CD，AD为底边上的中线。(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。(5)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线。结论(2)用文字如何表述?等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归结为什么?结论是：等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的中线互相重合(简称“三线合一”)。以上这种推理方法叫合情推理方法，是我们研究几何图形的一种基本方法。下面我们结合我们已经学过的相关问题来说明什么叫逻辑推理方法。已知：如图(2)，在△ABC中，AB＝AC。求证：∠B＝∠C

3、。证明：画∠BAC的平分线∵AB＝AC(已知)∠1＝∠2(画图)AD＝AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠B＝∠C这个例中的每一个过程都是逻辑推理过程，它们都是从上一步的条件得出下一步结论的，换言之就是没有上面的条件就不会有下一步的结论。逻辑推理是需要依据的，我们用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据，于是我们第一步就想到了公理和已经证明是正确的定理。二、用逻辑推理方法证明等腰三角形的判定定理和性质定理1．等腰三角形的判定定理。已知：如图(1)，在△ABC中，∠B＝∠C；求证：AB＝AC。分析：要证明两条线段相等，可设法构造两个全

4、等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边。基于这种想法，同学们会想到画什么样的辅助线呢?同学的回答可能是以下三种；(1)取BC的中点D，连结AD；(2)画∠BAC的平分线AD；(3)过顶点A作底边BC的高线AD。老师就第(2)种给出以下证明：证明：画∠BAC的平分线AD。在△BAD和△CAD中∵∠B＝∠C(已知)∠1＝∠2(画图)AD＝AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(AAS)∴AB＝AC请同学们给出第(3)种添加辅助线的证明过程，并就第(1)种的添加方法证明AB＝AC是否可行，展开讨论。由于以上的等腰三角形的识别方法是经过逻辑推理证明

5、它是正确的，而且在今后的其他命题证明中经常用到，所以我们把它称为等腰三角形的判定定理，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为(“等角对等边”)。2．如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。已知：如图(3)，在△ABC和△A'B'C'中，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，AB=A'B'，AC=A'C'。求证：△ABC≌△A'B'C'分析：把△ABC和△A'B'C'拼在一起，使相等的的直角边AC和A'C'重合在一起，并使点B和点B'在A'C'的两旁，B、C(C')、B'在一条直线上，由上述图

6、形，利用等腰直角三角形的性质与全等三角形的识别方法，即可证明这两个直角三角形全等。证明：像图(3)一样，把△ABC和△A'B'C'拼在一起。∵∠A'C'B'=∠ACB＝90°(已知)∴∠B'C'B＝180°∴点B'、C'、B在同一条直线上。在△A'B'B中，因为∵A'B'＝AB＝A'B(已知)∴∠B=∠B'(等边对等角)在△ABC和△A'B'C'中，∵∠ACB=∠A'C'B'(已知)∠B＝∠B'(已证)AB=A'B'(已知)∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)斜边、直角边定理：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等

7、。三、课堂练习1.求证；等边三角形的各角相等，并且每一个角都等于60°。2．求证；三个角都相等的三角形是等边三角形。四、小结本节课我们用推理证明的方法证明了等腰三角形的性质定理、判定定理和直角三角形的判定定理“HL”，要求同学们初步掌握命题证明的步骤、方法。体会逻辑推理证明重要性。五、作业（略）补充作业：1：如图，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是BC、AB、AC上的点，BD＝CF，CD＝BE，G为EF中点，连结OG，问DG与EF之间有何关系?证明你的结论。2．已知点D为等边△ABC内一点，且AD＝CD，PC＝AC，DC平分∠BCP，求∠P的度

8、数。3．如图，点C在线段AB上，△ACM和△CBN是等边三角形，AN交MC于P，BM交CN于Q，连结PQ，试