高三-圆的标准方程和一般方程

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1、复习课：圆的标准方程和一般方程教学目标重点：掌握圆的标准方程和一般方程，能根据题目条件选择恰当的形式求圆的方程，理解圆的一般方程和标准方程之间的关系，并能互化.灵活运用圆的几何性质解决问题.了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.难点：与圆有关的综合题的求解方法.能力点：等价转化的数学思想、数形结合的数学思想的应用,逻辑推理能力的培养和训练.自主探究点：了解参数方程的概念，理解圆的参数方程,利用参数方程解决求最值问题.易错点：运算出现错误，对问题分析不全面导致漏解.学法与教具1.学法：学生动脑、动手总结规律,梳理知识，解决问题.2.教具：投影仪.一、【知识梳理】1.圆的定

2、义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件：如三个点,半径和圆心(两个坐标)等.2.圆的方程(1)标准式：，其中为圆的半径，为圆心.(2)一般式：，其中圆心为，半径为.(3)过圆与直线（或圆）交点的圆系方程：i)，ii)(时为一条过两圆交点的直线，该方程不包括圆C2）(4)二元二次方程表示圆的充要条件：.二、【范例导航】题型1：求圆的方程【例1】(1)求经过点,圆心在直线上的圆的方程;(2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆方程.【分析】本题可以设圆的标准方程，建立关于圆心和半径的三个方程构成的方程

3、组.【解析】（1）解法一：设圆的标准方程为根据题意可得，解得所求圆的方程为.解法二：因为圆过两点，所以圆心在线段的中垂线上，又因为圆心在直线上，联立解得.进而求得圆的半径，圆方程为：.(2)因为圆与轴相切，且圆心在直线上，故圆方程可设为又因为直线截圆得弦长为，则有，解得，故所求圆方程为：或【点评】求圆的方程时，根据题目条件选择合适的方程形式，同时注意圆的几何性质的充分利用，如在第（1）问解法二中，利用圆心在线段的中垂线上，可以使简化运算.第（2）问求解时注意两组结果.变式训练：求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程.【解析】由题意，设所求圆的方程为圆．圆与直线相切

4、，且半径为4，所以圆心的坐标为或．又已知圆的圆心的坐标为，半径为3．若两圆相切，则两圆心之间的距离或.(1)当时，，或(无解)，故可得.∴所求圆方程为或．(2)当时，，或(无解)，故．∴所求圆的方程为或．【点评】对本题，易发生以下误解：(1)忽略圆心在轴下方的情形，（2）只考虑两圆相外切的情况.题型2：轨迹问题【例2】（1）已知点与两个定点的距离的比为，求点的轨迹方程.(2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.【分析】第（1）问用直接法求轨迹方程，第（2）问用相关点代入法求轨迹方程，所得轨迹都是圆.【解析】（1）设所求轨迹上任意一点根据题意：

5、，即：，即，故所求轨迹方程为：.（2）设的中点，点，则，得,又因为在圆周上运动，故可得：，所求轨迹方程为：.【点评】本题是比较简单的两道题目，分别用了直接法和相关点代入法求轨迹方程，旨在让学生复习求轨迹方程的方法，同时更进一步了解哪些点的运动轨迹是圆。变式训练：有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离地的运费是地的运费的3倍．已知、两地距离为10公里，顾客选择地或地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．【解析】以

6、、所确定的直线为轴，的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．∵，∴，．设某地，且地居民选择地购买商品便宜，并设地的运费为元/公里，地的运费为元/公里．因为地居民购货总费用满足条件：价格＋地运费≤价格＋地的运费即：．∵，∴化简整理得：∴以点为圆心为半径的圆是两地购的分界线．圆内的居民从地购货便宜，圆外的居民从地购货便宜，圆上的居民从、两地购货的总费用相等．因此可随意从、两地之一购货．题型3：圆中的最值问题【例3】(1)圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.(2)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．【分析】两道小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或

7、数形结合解决．【解析】（1）∵圆的圆心为，半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.（2）解法一：由圆的标准方程．可设圆的参数方程为（是参数）．则=.所以，．解法二：圆上的点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上的点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．所以，．变式训练：已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．【解析】解法一：由得圆的参数方程：是参数．则．令，得，.所以,解得：.所以．即的最大值为，最小值为．此时.所以的最大值为，最小值为．解法二：设