圆的标准方程和一般方程

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1、第三节圆的标准方程和一般方程A组1．若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为________．解析：圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r＝，若圆与两坐标无公共点，即，解得1

2、x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________．答案：π4．(2009年高考宁夏、海南卷改编)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________________．解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.5．(原创题)圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数c的值是________．解析

3、：当∠APB＝90°时，只需保证圆心到y轴的距离等于半径的倍．由于圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，即2＝×，解得c＝－3.6．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足PA＝2PB.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求QM的最小值，并求此时直线l2的方程．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2，化简可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图则直线l2是此圆的切线，连结CQ，则QM＝＝，当CQ⊥l1时

4、，CQ取最小值，CQ＝＝4，此时QM的最小值为＝4，这样的直线l2有两条，设满足条件的两个公共点为M1，M2，易证四边形M1CM2Q是正方形，∴l2的方程是x＝1或y＝－4.[来源:Z&xx&k.Com]B组1．(2010年福州质检)圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，则圆的方程为________________．解析：所求圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，故线段AB的垂直平分线x＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x－3y－1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2,1)，进一步

5、可求得半径为，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.2．(2010年扬州调研)若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是___．解析：∵直线ax＋by＝1过点A(b，a)，∴ab＋ab＝1，∴ab＝，又OA＝，∴以O为圆心，OA长为半径的圆的面积：S＝π·OA2＝(a2＋b2)π≥2ab·π＝π，∴面积的最小值为π.3．(2009年高考上海卷改编)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x02＋y02＝4，连

6、线中点坐标为(x，y)，则⇒代入x02＋y02＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.4．已知点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，则a＝________，b＝________.解析：点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，所以2a＋b＋1＝0，点P关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，所以圆心(－a,2)在直线x＋y－3＝0上，即－a＋2－3＝0，解得a＝－1，b＝1.5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形A

7、BCD的面积为___________．解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC＝2r＝10，最短弦BD＝2＝4，四边形ABCD的面积为20.6．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆的方程是____________________．解析：∵圆心为O(0,0)，又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆．其直径d＝OP＝2，∴半径r＝.而圆心C为(2,1)，∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.7．已知动点P(x，y)满足x2＋y2－x－y＝0，O为坐标原点，则PO