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1、圆的标准方程和一般方程一、基本知识点：1、标准方程的推导：2、几个注意点：①圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2；2°根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组；3°解
2、方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.③点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,点在圆外;2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2＜r2,点在圆内.3、一般方程的推导：问题：求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.4、几个注意点：(ⅰ)当D2+E2
3、-4F＞0时,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆；(ⅱ)当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-);(ⅲ)当D2+E2-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.二、例题：例1写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是3；⑵圆心在点C(3,4),半径是;(3)经过点P(5,1),圆心为C(8,-3)；(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.例2写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个
4、圆上.例3判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.巩固训练：求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.例4已知点P(10,0),Q为圆x2+y2=16上一动点.当Q在圆上运动时,求PQ的中点M的轨迹方程.巩固训练：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.例5△ABC的三个顶点的坐标是A
5、(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.（两种解法）变式：已知圆在x轴上的截距分别为1和3,在y轴上的截距为-1,求该圆的方程.例6：一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.变式：求圆心在直线l：x+y=0上,且过两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.例7试求圆C:x2+y2-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的圆C′的方程.变式：若圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图
6、形，求a－b的取值范围。例8求与圆x2+y2-2x=0外切,且与直线x+y=0相切于点(3,-)的圆的方程.巩固训练：求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x上且与直线y=1-x相切于点(2,-1).(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为22.(3)求圆心在直线y=2x上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.例9已知圆x2+y2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点,定点R(1,1),若PR⊥QR,求实数m的值.课后练习：1、已知圆C经过点A(1,1)
7、和点B(2，－2)，且圆心C在直线x－y＋1＝0上，球圆心C的坐标2、已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是_________。3、直线x－2y－2k＝0与2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k的取值范围是_________。4、已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是_________。
