高三数学复习 专题42 空间几何体及其表面积与体积学案 理 苏科版

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1、学案42　空间几何体及其表面积与体积【导学引领】（一）考点梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；棱柱两个底面是全等多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．(2)棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥；棱锥底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后截面和底面之间的部分叫做棱台．2．旋转体的结构特征(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别

2、叫做圆柱、圆锥、圆台；这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．(2)球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球．3．柱、锥、台和球的侧面积和体积面　积体　积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝Sh＝πr2h＝πr2圆台S侧＝π(r＋r′)lV＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝Ch′V＝Sh正棱台S侧＝(C＋C′)h′V＝(S上＋S下＋

3、)h球S球面＝4πR2V＝πR34.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．　正棱柱与正棱锥的概念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多

4、边形的中心．【自学检测】1．下列说法正确的是________(填序号)．①棱柱的面中，至少有两个面互相平行；②棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面；③棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高；④棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形．2.已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为________．3．以长方体的各顶点为顶点，能构建四棱锥的个数是________．　4．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为________m2.【合作释疑】空间几何体的结构特征【训练1】给出下列四个命题：①有两个侧面

5、是矩形的棱柱是直棱柱②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为________．【训练2】设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．几何体的表面积与体积【训练1】如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD＝60°，∠BDC＝45°，△AD

6、P∽△BAD.(1)求线段PD的长；(2)若PC＝R，求三棱锥P－ABC的体积．【训练2】一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积．等价与转化在求几何体体积中的应用【训练1】如图，在三棱锥P－ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.(1)证明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P－ABC的体积．【训练2】如图，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.(1)求证：PC⊥A

7、B；(2)求点C到平面APB的距离．【当堂达标】1若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．2．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．5．

8、(2012·辽宁卷)已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上．若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．【课后作业】1．在三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都