2021届新课改地区高三数学专题复习第42讲 空间几何体的表面积与体积（解析版）.docx

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1、第42讲：空间几何体的表面积与体积一、课程标准1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题二、基础知识回顾知识梳理1.空间几何体(1)多面体①棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱．侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱．底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．②棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些所围成的几何体叫棱锥．如果棱锥的底面

2、是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥．底面与截面之间的部分，叫棱台．棱台的各侧棱延长后交于一点．(2)旋转体①旋转面：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面．②旋转体：封闭的旋转面围成的几何体．③圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆柱．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．④圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．⑤圆台：以直角梯形中垂直于底边

3、的腰所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台．(或用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥．底面与截面之间的部分，叫做圆台．)圆台的母线延长后交于一点．⑥球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．经过球面上两点的大圆劣弧的长叫做球面距离．16/162.柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝Sh＝πr2h＝πr2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh续表面积体积正棱锥S侧＝Ch′V＝Sh正棱台S侧＝(C＋C

4、′)h′V＝(S上＋S下＋)h球S球面＝4πR2V＝πR33.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．一、自主热身、归纳总结1、已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A.1cm　　　B.2cm　　C.3cmD.cm【答案】B【解析】　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2.故选B.2、正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积(　　)16/16A.32B.4

5、8C.64D.【答案】A【解析】如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角三角形POE.因为OE＝2cm，∠OPE＝30°，所以斜高PE＝＝4，所以S正棱锥侧＝×4×4×4＝32.故选A.3、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A.6　　　B.7　　C.8D.9【答案】B【解析】　设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.故选B.4、如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为________．【

6、答案】【解析】因为S△ABA1＝×3×3＝，点P到平面ABA1的距离h为△ABC的高，所以三棱锥PABA1的体积V＝×S△ABA1×h＝.5、如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若各棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥MAB1C的体积为________．16/16【答案】【解析】在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，则AA1⊥B1M.因为B1M是正三角形A1B1C1的中线，所以B1M⊥A1C1.因为A1C1∩AA1＝A1，所以B1M⊥平面ACC1A1，则VMAB1C＝VB1ACM＝××AC×AA1×B1M＝××2×2×＝.一、例题选讲考点一空间几何体的的表

7、面积例1、（南京师大附中2020届高三模拟）在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　)A．4πB.(4＋)πC．6πD．(5＋)π【答案】D【解析】∵在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，