高中数学 第二章 基本初等函数(ⅰ)2.2 对数函数互动课堂学案 新人教a版必修1

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1、2.2对数函数互动课堂疏导引导2.2.1　对数与对数运算1.对数的定义一般地,如果ax=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lgN,以e(e=2.71828…)为底的对数称为自然对数,并且把logeN记为lnN.疑难疏引(1)因为a>0,所以不论b是什么数,都有ab>0,即不论b是什么数,N=ab永远是正数,这说明在相应的对数式b=logaN中真数N永远是正数,换句话说负数和零没有对数.(2)指数与对数的关系:ax=N(a>0,a≠1)x=

2、logaN.(3)负数和零没有对数.2.对数的运算(1)换底公式:①logab=,即有logca·logab=logcb;②logba=,即有logab·logba=1;③logambn=logab;(2)对数恒等式:alogaN=N.疑难疏引换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质.3.对数式与指数式的关系【探究思路】由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可用下图表示.●案例1下列四个命题中,真命题是(　　)A.lg2lg3=lg5B.lg23

3、=lg9C.若logaM+N=b,则M+N=abD.若log2M+log3N=log2N+log3M,则M=N【探究】解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的答案一一与相关的对数运算性质相对照,不难得出应选D.【溯源】初学对数运算性质,容易犯下面错误:loga(M±N)=logaM±logaN,loga(M×N)=logaM×logaN,loga=,logaNn=(logaN)n.要注意:积的对数变为加,商的对数变为减,幂的乘方取对数,要把指数提到前.●案例2求值:(1);(2)lg5·lg20+lg22;(3)已知log23=a,3b=7

4、,求log1256的值.【探究】(1)(2)严格按照指数、对数的运算法则计算,(3)先将3b=7转化为log37=b,然后设法将log1256化成关于log23和log37的表达式即可求值.(1)==.(2)lg5·lg20+lg22=lg5(lg4+lg5)+lg22=2lg2·lg5+lg25+lg22=(lg2+lg5)2=1.(3)解法一:∵log23=a,∴2a=3.又3b=7,∴7=(2a)b=2ab.故56=23+ab.又12=3·4=2a·4=2a+2,从而56=(2a+2)=12.故log1256=log1212=.解法二:∵log23=a,∴log

5、32=.又3b=7,∴log37=b.从而log1256=====.解法三:∵log23==a,∴lg3=alg2.又3b=7,∴lg7=blg3.∴lg7=ablg2.从而log1256====.【溯源】(1)lg2+lg5=1在对数计算中经常用到.(2)第三小题中解法一借助指数变形来解;解法二与解法三是利用换底公式来解,显得较简明.应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数,从而把已知对数和所求对数都换成新的对数,再代入求值即可.2.2.2　对数函数及其性质1.概念一般地,我们把函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数

6、的定义域是(0,+∞).2.对数函数的性质a>101时,图象由左向右逐渐上升,即当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数;当0

7、,y=logax在(0,+∞)上是减函数;(5)当a>1时,在直线x=1的右侧,图象位于x轴上方;在直线x=1与y轴之间,图象位于x轴下方,即当a>1时,x>1,则y=logax>0;01,则y=logax<0;00.对数函数y=logax(a>0且a≠1)的性质的助记口诀:对数增减有思路,函数图象看底数,底数只能大于0,等于1来也不