偏导数及其在经济分析中的应用

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1、4、偏导数的计算法(1)二元函数情况①将中的看作常量而对求导可得.②将中的看作常量而对求导可得.例1(1)求在点处的偏导数．解:,．,．(2)求在点的偏导数．解:,．例2求下列函数的偏导数（注意理解复合函数求导数:层层求导，导数相乘的含义）(1)求．解:,．（2）解：．（3）解：．7（4）设，其中可微，求解：（5）（考虑两层复合的函数）解：（6）（考虑三层复合的函数）解6、偏导数与连续的关系一元函数中在某点可导连续，但是多元函数中在某点偏导数存在连续.例如:设由于,.即在点两个偏导数都存在,但在点显然间断．因为.7又如，在点处两个偏导数均存在且为0，但是在点

2、不连续，因为极限不存在.例是否存在一个函数，使得，？（分析：，所以这样的不存在.）二、高阶偏导数1、高阶偏导数:设偏导函数在区域内存在有偏导数,则称此偏导数为的二阶偏导数,并记作,,同理:，,,等等.例9求函数的二阶偏导数.解：，；7.2.【定理】:如果函数的两个二阶混合偏导，在区域内连续，则在该区域内必.二阶混合偏导数在连续情况下与求导数的顺序无关.此性质可以推广到高阶混合偏导数.例13设,于是,,,,,,.,.例14设，证明：.证明:,；同理,..7三、偏导数在经济分析中的应用——交叉弹性在一元函数微积分中我们学习了边际与弹性概念，它们分别表示经济函数在

3、一点的变化率与相对变化率.将边际与弹性概念推广到多元函数微积分学中并被赋予经济含义,如某商品销售是它的价格及其它商品价格的函数,称为对的交叉弹性.交叉弹性反映了两种商品间的相关性．当交叉弹性大于零时,两商品为互为替代品；当交叉弹性小于零时,两商品为为互补品；当交叉弹性等于零时,两商品为相互独立商品.交叉弹性定义：设函数在点处偏导数存在，函数对的相对改变量与自变量的相对改变量之比称为函数对从到两点间的弹性．当时，的极限值称为函数在点处对的弹性，记作，即.类似可以定义函数在处对的弹性为.特别地，如果中表示需求量，表示价格，表示消费者收入，则表示需求对价格的弹性，

4、表示需求对收入的弹性.例15随着养鸡工业化程度的提高，肉鸡价格（用7表示）会不断下降。现估计明年肉鸡价格将下降5%，且猪肉需求量（用表示）对肉鸡价格的交叉弹性为0.85，问明年猪肉需求量将如何变化？（求两点间的弹性）解：由于鸡肉与猪肉互为替代品，故肉鸡价格下降将导致猪肉需求量的下降。依题意猪肉需求量对肉鸡价格的交叉弹性为，而肉鸡价格将下降，于是猪肉需求量将下降.例16某种数码相机的销售量，除与它自身的价格有关外，还与彩色喷墨打印机的价格有关，具体是求=50，=5时（1）对的弹性；（2）对的交叉弹性.解：（1）对的弹性为当=50，=5时（2）对的交叉弹性为7=

5、50，=5时7