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1、边际与偏弹性最值在经济中的应用第六节偏导数在经济分析中的应用一、边际与偏弹性在一元函数微分学中，我们引入了边际与弹性的概念，这些概念可以推广到多元函数微分学中．表示z=f(x,y)在点对x的边际.其含义为:在点处,当y保持不变,而x改变一个单位时,z=f(x,y)近似改变个单位.表示z=f(x,y)在点对y的边际.1.边际其含义为:在点处,当x保持不变,而y改变一个单位时,z=f(x,y)近似改变个单位.z=f(x,y)对x的边际函数z=f(x,y)对y的边际函数本节以生产函数为例来说明边际与偏弹性的概念.生产函数指的是一定的投入品组合与之
2、所能生产的最大产量Ｑ之间的关系．设投入品：劳动Ｌ和资本Ｋ，则生产函数可以用二元函数表示为一种投入的边际(物质)产量(marginalphysicalproduct)是在其它投入固定不变时，多使用一单位这种投入的额外产量.用数学公式表示，有资本的边际产量投入要素的边际产量劳动的边际产量例如,消费者行为:效用与边际效用效用函数其中u为效用量,qx为对物品x的消费量,qy为对物品y的消费量.表示每增加一个单位商品qx的消费所得到的总效用的增加量.表示每增加一个单位商品qy的消费所得到的总效用的增加量.边际效用是递减的,随着一个人所消费的某种商品的
3、数量增加,其总效用虽然递增,但该物品的标边际效用却是递减的趋势.2.弹性考虑函数的相对偏增量与自变量的相对增量之比:当时,称为z=f(x,y)在点处对x的弹性函数.记为.即同样,z=f(x,y)在点处对x的弹性函数:其含义为:在点处,当y保持不变,而x改变1%时,z=f(x,y)近似改变.其含义为:在点处,当x保持不变,而y改变1%时,z=f(x,y)近似改变.产出关于投入要素的偏弹性产出关于投入要素的偏弹性是产出关于某个投入要素的相对变化率.产出关于资本的偏弹性设生产函数可偏导且产出关于劳动的偏弹性设生产函数求劳动投入的边际产量；求产出关
4、于劳动投入的偏弹性；证明：若，劳动投入的边际产量单调减少.（注：这个函数称为柯布－道格拉斯(Cobb-Douglas)函数）解(1)劳动投入的边际产量为(2)在生产函数两端取自然对数，得于是，劳动投入的边际产量单调减少.则产出关于劳动投入的偏弹性为(3)由得设生产函数其中Q是产出量,Ｌ是劳动Q=1时,Ｋ关于L的弹性.投入量,Ｋ是投入量,而均为大于零的常数,求当我们以利润最大与约束成本最小为例来说明多元函数的无条件极值和条件极值在经济学中的应用.１.利润最大为投入要素，产量和投入要素的价格分别为,则利润函数为的值,使利润函数取最大值.若厂商的
5、目标是利润最大化,则厂商应选择投入要素二、最值在经济分析中的应用则这是一个无约束的极值问题，利润最大化的条件是：上式可写为其中,表示投入要素的边际产量.在经济学中，产出的价格p与第i种投入要素的边际产量的乘积称为第i种投入要素的边际产品价值,记为.于是，利润最大化的必要条件也可表示为上式的经济意义是:当利润达到最大时,每一投入要素的边际产品价值等于该投入要素的价格.上式的经济意义是:当利润达到最大时,两种投入要素的边际产出之比等于投入要素的价格之比.利润极大化的二阶充分条件为由于二阶充分条件可简化为解利润函数为其中产品价格为p=2，劳动投入
6、的价格为w=4,资本投入的价格为r=3,在劳动与资本投入严格大于零的条件下,求使利润取得最大时的投入水平和最大利润．设生产函数为其定义域为开区域由利润最大化的一阶必要条件，有故驻点(8,16)是利润函数的极大值点.由问题的实际意义知(8,16)也是利润函数的最大值点.从而当劳动投入为8、资本投入为16时利润最大,最大利润为2.约束成本最小若厂商的目标是在产量为y0(y0为常数)时使成本最小化,则厂商应在产量约束的条件下，选择投入要素x1与x2的值,使成本函数取最小值.设生产函数为其中y为产量，为投入要素，投入要素的价格为，则成本函数为这是一
7、个条件极值问题，其数学模型为构造拉格朗日函数约束成本最小化的一阶必要条件是在上述方程组中消去λ可得即设生产函数为上式的经济意义是:当约束成本达到最小时,两种投入要素的边际产量之比等于投入要素的价格之比.设两种投入要素的价格为,求当产量为12时生产成本取得最小的投入水平.化简，可得等价问题解建立方程组由(1),(2)得构造拉格朗日函数时，生产12个单位产量的成本取得最小值．由问题的实际意义知，当两种投入要素分别为某商品的生产函数为其中Q为产品产量,L为劳动投入,K为资本投入;又知资本投入价格为4,劳动力投入价格为3,产品销售价格为p=2.求:
8、(1).该产品利润最大时的投入和产出水平以及最大利润;(2).若投入总额限定在60个单位范围内,求此时取最大利润时的投入及最大利润.解由题意知：成本函数为C(K,L)=4K+3L
