全国高考理科数学试题及答案湖南卷

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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，，则【D】A．,B．,C.,D.,2．对于非零向量“”是“”的【A】A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于【D】A．B．C.D.4．如图1，当参数时，连续函数的图像分别对应曲线和,则【B】A．B．C．D．5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理

2、，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【C】A．85B．56C．49D．286．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为【B】A．B．C．D．7．正方体的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为【C】A．2B．3C．4D．58．设函数在内有定义.对于给定的正数K，定义函数取函数。若对任意的，恒有，则【D】A．K的最大值为2B．K的最小值为2C．K的最大值为1D．K的最小值为1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9．某

3、班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__.10．在的展开式中，的系数为__7__(用数字作答).11．若，则的最小值为.12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为，则双曲线C的离心率为13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为40。14．在半径为13的球面上有A,B,C三点

4、，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为12；（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为3.15．将正分割成个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为，则有，，…，.三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．

5、（本小题满分12分）在中，已知，求角A，B，C的大小解：设由得，所以.又因此由得，于是.所以，，因此，既.由知，所以，从而或，既或故或。17．（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。解:记第名工人选择的项目属于基础设施工

6、程、民生工程和产业建设工程分别为事件i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=（Ⅱ）解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知，B（3，），且=3-。所以P（=0）=P（=3）==，P（=1）=P（=2）==，P（=2）=P（=1）==，P（=3）=P（=0）==.故的分布列是0123P的数学期望E=+++=2.解法2:记第名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事

7、件，i=1,2,3.由已知，相互独立，且P（）=（）=P（）+P（）=+=，所以,即，故的分布列是0123P18．（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，且（I）证明：平面平面；（II）求直线和平面所成角的正弦值。解：（I）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.又DE平面，所以DE.而DEAE，AE=A，所以DE平面.又DE平面ADE，故平面平面（2）解法1：如图所示，设F是AB的中点，连接DF，DC，CF，由正三棱柱的性质及D是的中点知，CD，DF又CDDF=D，所以平面CDF.

8、而AB∥，所以AB平面CDF.又AB平面ABC，故平面ABC平面CDF。过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面ABC。连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。由已知AB=AA，不妨设AA=，则AB=2，DF=，DC=，CF=，AD==，DH===.所以sinHAD==。即直线AD和平面ABC所成角的正弦值为.解法2：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA=，则AB=2，相关各点的坐标分别是A