高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教b版选修_1

《高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教b版选修_1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高中数学第二章推理与证明本章整合新人教B版选修2-2知识网络专题探究专题一　合情推理与演绎推理1．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理．合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．归纳推理的思维过程大致如下：→→类比推理的思维过程大致如下：→→2．演绎推理是由一般到特殊的推理，又叫逻辑推理．其中三段论推理是演绎推理的主要形式．演绎推理具有如下特点：(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中．(2)演绎推理中，前

2、提与结论之间存在必然的联系，演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它创造性较少，但却具有条理清晰、令人佩服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．【例1】证明下列各等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos＝，2cos＝，2cos＝.证明：2cos＝2×＝，2cos＝2×＝2×＝，2cos＝2×＝2×＝.……从以上各式归纳可得一般性的结论如下：2cos＝(n∈N＋，n≥1)．【例2】已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，

3、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，则N(－m，－n)．因为点M(m，n)在已知双曲线上，所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.因为kPM·kPN＝·＝＝·＝(定

4、值)，所以kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．专题二　直接证明与间接证明1．直接证明的两种基本方法是综合法与分析法．综合法与分析法的区别与联系：分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点．有些具体的问题，用分析法或综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种．在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特

5、点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由Q可以推出P成立，就可以证明结论成立．2．反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题，反证法反映了“正难则反”的证明思想．用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能的情况，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从

6、结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【例3】设集合S＝{x

7、x∈R且

8、x

9、＜1}，若S中定义运算“*”，使得a*b＝.证明：(1)如果a∈S，b∈S，那么a*b∈S；(2)对于S中的任何元素a，b，c，都有(a*b)*c＝a*(b*c)成立．证明：(1)由a∈S，b∈S，则

10、a

11、＜1，

12、b

13、＜1，a*b＝，要证a*b∈S，即证

14、a*b

15、＝＜1，只需证

16、a＋b

17、＜

18、1＋ab

19、，即只需证(a＋b)2

20、＜(1＋ab)2，即证(1－a2)(1－b2)＞0.∵

21、a

22、＜1，

23、b

24、＜1，∴a2＜1，b2＜1，∴(1－a2)(1－b2)＞0成立，∴a*b∈S.(2)(a*b)*c＝*c＝，同理a*(b*c)＝a*＝，∴(a*b)*c＝a*(b*c)．【例4】有10只猴子共分了56个香蕉，每只猴子至少分到1个香蕉，最多分到10个香蕉，试证：至少有两只猴子分到同样多的香蕉．证明：假设10只猴子分到的香蕉都不一样多．∵每只猴子最少分到一个香蕉，至多分到10个香蕉，∴只能是分别分到1,2,3，…，10个香蕉．此时10只猴子

25、共分了：1＋2＋3＋…＋10＝55(个)，这与共分了56个香蕉相矛盾，故至少有两只猴子分得同样多的香蕉．专题三　归纳—猜想—证明的方法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．它的解题思路是：从所给条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明．【例5】若不等式＋＋＋…＋＞对一切正整数n都成立，求正整数a的最