比和比例（二）

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1、年级六年级学科奥数版本通用版课程标题比和比例（二）编稿老师宋玲玲一校林卉二校黄楠审核张舒在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的比例（正、反）关系有关。在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断。成正比或反比的量中都有两种相关联的量。一个变量（记作x）变化时，另一个变量（记作y）也随之变化，与这两个量相联系，有另一个不变的量（记为k）。在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要抓住这个不变量k。如果k是y与x的商，即，当x变化时，y也随之改变，且y与x的商不变，那么y与x成正比例；如果k

2、是y与x的积，即xy＝k，当x变化时，y也随之改变，且y与x的积不变，那么y与x成反比例。如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成正、反比例。应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的定值与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。正比例：如果a÷b＝k（k为常数），则称a、b成正比例；反比例：如果a×b＝k（k为常数），则称a、b成反比例。例1甲、乙、丙三人同去商场购物，甲消费金额的等于乙消费金额的，乙消费金额的等

3、于丙消费金额的，结果丙比甲多花了30元。问：三人共花了多少元钱？分析与解：根据比例与乘法的关系，得：甲消费的金额×＝乙消费的金额×，即甲消费的金额︰乙消费的金额＝3︰4，乙消费的金额×＝丙消费的金额×，即乙消费的金额︰丙消费的金额＝8︰9，所以，甲消费的金额∶乙消费的金额∶丙消费的金额＝（2×3）∶（4×2）∶9＝6∶8∶9。所以三人共花了30×＝230（元）。答：三人共花了230元。例2师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师

4、傅和徒弟一共加工了多少个零件？分析与解：师傅与徒弟的工作效率之比是，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅和徒弟一共加工了（个）零件。答：师傅和徒弟一共加工了400个零件。例3袋子里红球与白球数量之比是19︰13。放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5︰3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13︰11。已知放入的红球比白球少80只，那么原先袋子里共有多少只球？分析与解：放入若干只红球前后比较，白球的数量不变，也就是后项不变；再把放入若干只白球的前后比较，红球的数

5、量不变，因此可以根据两次变化前后的不变量来统一，然后比较。红白原来19︰13＝57︰39加红球5︰3＝65︰39加白球13︰11＝65︰55原来与加红球后的后项统一为3与13的最小公倍数为39，再把加红球与加白球的前项统一为65与13的最小公倍数65。观察比较得出加红球从57份变为65份，共多了8份，加白球从39份变为55份，共多了16份，可见红球比白球少加了8份，也就是少加了80只，每份为10只，总数为（57＋39）×10＝960（只）。例4育英小学六年级学生分三批去参观科技馆。第一批和第二批人数的比是4︰

6、3，第二批和第三批人数的比是3︰2。已知第一批比第二、三批人数的总和少20人。问：去参观科技馆的学生的总人数是多少人？分析与解：三批学生人数的比为4︰3︰2。第一批学生占总人数的，第二、三批占总人数的，因此去参观科技馆学生的总人数是20÷（－）＝180（人）。答：去参观科技馆的学生的总人数是180人。例5某小学四、五、六年级共有学生690人，已知六年级学生的等于五年级学生的，六年级学生的等于四年级学生的。问：四、五、六年级的学生分别有多少人？分析与解：设六年级学生的人数为单位1，则五年级学生的人数为1×÷＝，

7、四年级学生的人数为1×÷＝。各年级人数的比：六年级︰五年级︰四年级＝1︰︰＝6︰9︰8。按比例分配可以得到：六年级学生的人数：690×。五年级学生的人数：690×。四年级学生的人数：690×。答：四、五、六年级的学生分别有240人、270人、180人。例6某高速公路收费站对于过往车辆的收费标准是：大型车元，中型车元，小型车元。一天，通过该收费站的大型车和中型车的数量之比是5︰6，中型车与小型车的数量之比是4︰11，小型车的通行费总数比大型车多元。（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）这

8、天的收费总数是多少元？分析与解：（1）大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将中的与中的统一成，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比。由和，得到。以辆大型车、辆中型车、辆小型车为一组。因为每组中收取小型车的通行费比大型车多（元），所以这天通过的车辆共有（组）。所以这天通过的大型车有（辆），中型车有（辆），小型车有（辆）。（2）这天收取的总费用为：（元）。例76枚壹分硬币摞在一起与枚贰分硬