比和比例（一）

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1、年级六年级学科奥数版本通用版课程标题比和比例（一）编稿老师宋玲玲一校黄楠二校林卉审核张舒比和比例一直是学数学时容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题可以用一句话概括：比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：a︰b）；比例，有至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同的（如：a︰b＝c︰d）。所以，比和比例的联系就可以说成是：比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组合而成的。比和比例的区别和联系：1.意义、项数、各部分名称不同。比表示两个数相除；只有两个项：比的前项和后项。如：a︰b这是比；比例

2、是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。如：a︰b＝3︰4这是比例。2.比的基本性质和比例的基本性质意义不同、应用不同。比的性质：比的前项和后项都乘或除以一个不为零的数，比值不变。比例的性质：在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。比例的性质用于解比例。3.比和比例的联系：比例是由比组成的，如果没有两种量的比，比例就不会存在。比例是比的发展，如果把比例式中右边的比看成一个数，比和比例此时又可以统一起来。如果两个比相等，那么这两个比就可以组成比例。成比例的两个比的比值一定相等。比和比例的性质：性质1：若a︰b＝c

3、︰d，则（a＋c）︰（b＋d）＝a︰b＝c︰d；性质2：若a︰b＝c︰d，则（a－c）︰（b－d）＝a︰b＝c︰d；性质3：若a︰b＝c︰d，则（a＋xc）︰（b＋xd）＝a︰b＝c︰d；（x为常数）性质4：若a︰b＝c︰d，则a×d＝b×c；（即外项积等于内项积）例1小军行走的路程比小红多，而小红行走的时间却比小军多，求小军与小红的速度比。分析与解：小军行走的路程比小红多，即小红走的路程若是5份，小军所走的路程为1＋5＝6（份）；小红所用的时间比小军多，即小军所用的时间若为8份，则小红所用的时间为8＋1＝9（份）。而路程比时间就是

4、速度，即可求出两人的速度比，所以小军和小红的速度比为（6÷8）︰（5÷9）＝27︰20。答：小军与小红的速度比为27︰20。例2甲、乙两同学的分数比是5∶4。如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，那么他们的分数比是5∶7。则甲、乙原来各得多少分？分析与解：甲、乙两人的分数之和没有变化，原来要分成5＋4＝9（份），变化后要分成5＋7＝12（份）。如何把这两种分法统一起来是解此题的关键。9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算。5∶4＝（5×4）∶（4×4）＝20∶16；5∶7＝（5×3）∶（7×3）＝15∶21。甲少

5、得22.5分，乙多得22.5分，相当于20－15＝5（份）。因此，原来甲得22.5÷5×20＝90（分），乙得22.5÷5×16＝72（分）。答：原来甲得90分，乙得72分。例3一个分数，分子与分母之和是100。如果分子加8，分母加11，新的分数约分后是，那么原来的分数是多少？分析与解：新的分数中，分子与分母之和是100＋8＋11＝119，而分子与分母之比是3∶4。因此分子是119×＝51，分母是119×＝68。所以，原来的分数是。例4一块合金内铜和锌的质量比是3∶4，现在再加入7克锌，共得新合金49克，求新合金内铜和锌的重量比。分

6、析与解：要求新合金内铜和锌的重量比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量。应该注意到铜和锌的重量比是3∶4时，合金的重量不是49克，而是49－7＝42（克）。铜的重量始终没有变。铜的重量：42×＝18（克）。新合金中锌的重量：49－18＝31（克）。新合金内铜和锌的重量比为18∶31。答：新合金内铜和锌的重量比为18∶31。例5已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两数和的，求甲︰乙︰丙。分析与解：由甲等于乙、丙两数和的，得到甲等于三数和的，同样的乙等于三数和的，丙等于三数和的，所以甲︰乙︰丙

7、＝︰︰＝3︰4︰5。例6一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑棋子与白棋子的个数之比为2︰1；再拿走45枚黑棋子后，黑棋子与白棋子的个数比为1︰5，开始时黑棋子和白棋子各有多少枚？分析与解：第二次拿走45枚黑棋子，黑棋子与白棋子的个数之比由2︰1即10︰5变为1︰5，而其中白棋子的数目是不变的，这样我们就知道黑棋子由原来的10份变成现在的1份，减少了9份。这样原来黑棋子的数量为：45÷9×10＝50，白棋子的数量为：45÷9×5＋15＝40。例7一条路全长9千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是2︰3︰4，某

8、人走各段路程所用时间之比是3∶4∶5。已知他上坡的速度是每小时1千米。问：此人走完全程用了多少时间？分析与解：已知全程9千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程的比是2∶3∶4，可以先求出上坡路的路程。上坡路的路程：9×＝2（千米）。走上