高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数i2_3函数的奇偶性与周期性课件

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1、§2.3函数的奇偶性与周期性基础知识　自主学习课时训练题型分类　深度剖析内容索引基础知识　自主学习1.函数的奇偶性知识梳理奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数关于对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数关于对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x

2、)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正数1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(

3、x

4、).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.知识拓展2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)

5、＝－f(x)，则T＝2a(a>0).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.()(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.()(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.()思考辨析×√√√√考点自测1.(教材改编)下列函数为偶

6、函数的是A.f(x)＝x－1B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝2x－2－xD.f(x)＝2x＋2－xD中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数.答案解析∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.答案解析2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为A.－1B.0C.1D.2∵f(1)＝log2(1＋3)＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.答案解析3.(2016·嘉兴教学测试一)已知

7、奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝log2(x＋3)，则f(－1)＝________.－2当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x).又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，∴f(x)＝x(1－x).答案解析4.(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x<0时，f(x)＝________.x(1－x)题型分类　深度剖析题型一　判断函数的奇偶性例1(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是选项A中的函数是偶函数；选

8、项B中的函数是奇函数；选项C中的函数是偶函数；选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数.答案解析当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x).∴对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x).∴函数f(x)为奇函数.解答(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤思维升华(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，

9、应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.跟踪训练1(1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是A.y＝B.y＝lg

10、x

11、C.y＝(x－1)2D.y＝2x选项B中，函数y＝lg

12、x

13、的定义域为{x

14、x≠0}且lg

15、－x

16、＝lg

17、x

18、，所以函数y＝lg

19、x

20、是偶函数.答案解析答案解析奇(0,2)所以函数f(x)的对称中心为(0,2).题型二　函数的周期性例2(1)(2016·绍兴模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是

21、定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2017)＋f(2019)的值为A.－1B.1C.0D.无法计算答案解析由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(