2016年浙江省高考数学（理）第18题评卷及启示

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1、2016年浙江省高考数学（理）第18题评卷及启示　　笔者非常荣幸参加了2016年浙江省高考理科第18题的阅卷工作.本文拟结合笔者的阅卷经历简要叙述本题的阅卷情况和自己有感而发的教学思考，供读者参考.　　试题已知a≥3，函数F（x）=min{2

2、x-1

3、，x2-2ax+4a-2}，其中min{p，q}=p，p≤q，　　q，p>q.　　（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围.　　（Ⅱ）（?。┣?F（x）的最小值m（a）；（??）求F（x）在区间[0，6]上的最大值M（a）.　　按照命题组事先设计试

4、题的意图，此题作为简单题第三题，不刻意增加试题的难度，是一道上手快、得分易的基本题（命题组原计划将此题设计成两空的填空题），重点考查函数基本思想和方法.从阅卷的实际情况看，试题难度预计有一定偏差，但具有良好的区分度，全省平均分为546，32%的学生得1分或0分，9%的学生13分及以上.下面我们首先简要介绍试题的常见解法和学生的典型错误.1试题的常见解法及典型错误　　1.1第（Ⅰ）题的解法与典型错误展示　　1.1.1第（Ⅰ）题的正确解法　　正确解法1此问首先需将问题等价转化为：求解关于x的不等式2

5、x-1

6、≥x2-2ax1

7、1　　+4a-2（a≥3）.下面通过讨论去掉绝对值符号转化为常规的一元二次不等式：　　①当x≥1时，不等式等价于2x-2≥x2-2ax+4a-2x2-（2+2a）x+4a≤0（x-2）（x-2a）≤0　　2≤x≤2a（a≥3），故此时x的取值范围为[2，2a].　　②当x<1时，不等式等价于2-2x≥x2-2ax+4a-2x2+（2-2a）x+4a-4≤0.考虑到二次函数h（x）=x2+（2-2a）x+4a-4的对称轴x=a-1≥2，　　故h（x）在（-∞，1）上单调递减，故当xh（1）=2a-1>0，从而不等式x2+（

8、2-2a）x+4a-4≤0在　　（-∞，1）上无解.【说明：当x<1时，利用x2+（2-2a）x+4a-4=x2　　+（2a-2）（2-x）>0也能说明不等式无解】.综合上述，使得等式　　F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2，2a].　　正确解法2由于F（x）的草图如图2所示，我们先求出方程x2-2ax+4a-2=　　2（x-1）的根x1=2，x2=2a.考虑到当x≤2时，x2-2ax+4a-2≥2

9、x-1

10、，故从图中可知，不等式2

11、x-1

12、≥x2-2ax+4a-2（a≥3）的解集为[2，2a].　　

13、1.1.2第（Ⅰ）题的典型错误　　典型错误1（参数分离法根深蒂固）由于不等式2

14、x-1

15、≥x2-2ax+4a-2等价于　　a（4-2x）≤-x2+2

16、x-1

17、+2.显然x=2不等式成立，当x≠2时，不等式等价于11　　x>2，　　a≥-x2+2

18、x-1

19、+24-2x，或者x<2，　　a≤-x2+2

20、x-1

21、+24-2x，再将问题错误转化为上述不等式对任意的a≥3恒成立.　　与上述错误解法大相径庭的另一种解法为：将不等式2

22、x-1

23、≥x2-2ax+4a-2中的绝对值通过x≥1，x<1讨论消去后再采用参数分离法求解，仍然将问

24、题错误等价成恒成立问题.　　典型错误2（讨论对象错误）求解过程中通过讨论实数a的范围来求最值，不理解产生分类讨论的原因和目的.　　典型错误3（图像绘制不正确）在图2中忽视点B的存在而导致产生错误结果[2，+∞）.　　典型错误4（用十字交叉法求解一元二次方程的根比较生疏）不少学生对于一元二次不等式x2-（2+2a）x+4a≤0求解时求二次方程的根x1=2，x2=2a或用求根公式求，或无法正确求解，对十字交叉法比较生疏.　　典型错误5（不善于借助图像直观分析二次方程根的位置）当求解一元二次不等式x2+（2-2a）x+4a-4

25、≤0时，毫无顾忌地直接利用求根公式x=2a-2±（2-2a）2-4（4a-4）2　　=a-1±（a-1）（a-5），从而盲目地认为不等式的解集为[a-1-（a-1）（a-5），a-1+（a-1）（a-5）]，　　殊不知一元二次方程x2+（2-2a）x+4a-4=0的根是否存在（比如3≤a0来简要说明不等式无解.　　1.2第（Ⅱ）题解法和典型错误展示11　　1.21第（Ⅱ）题（?。┪实恼?确解法　　正确解法1（利用min{min{p（x），q（x）}}=min{p（x）min，q（x）min}求解）设f（x）=2

26、x-1

27、

28、，　　g（x）=x2-2ax+4a-2，则m（a）=F（x）min=min{min{2

29、x-1

30、，x2-2ax+4a-2}}=min{min{f（x），g（x）}}　　=min{f（x）min，g（x）min}.由于f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=-a2+4a-2，从而　　m（a）=min{0