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时间:2019-01-09
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1、对“月上柳梢头”的数学模型分析 摘要:研究2015年全国大学生数学建模竞赛C题,首先定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和什么时间称为“黄昏后”,建立数学模型,用Mathematica软件编程,计算出结果;其次又建立模型,分析2016年北京地区“月上柳梢头,人约黄昏后”发生的日期与时间以及其他纬度地区能看到此景的日期与时间。计算数据表明,此情景主要发生在中纬度地区,高纬度地区一般少发生。 关键词:数学建模;天体运动模型;天文学;高度角 文献标识码:A文章编号:20958153(2015)06010803 太阳,地球,月球是一个复杂的运动系统,在适当简化的基础上,根据现有的天
2、文学知识,建立数学模型描述三者相互运动规律。对“月上柳梢头,人约黄昏后”的诗句进行天文学及数学上的解读――定义两者高度角,力图预测出“此情此景”再现的时间与地点,为建立人文知识与现代科学知识之间的互通互融,做一次有意义的尝试。 一、建模题目[1] “月上柳梢头,人约黄昏后”是北宋学者欧阳修的名句,写的是与佳人相约的情景。请用天文学的观点赏析该名句,并进行如下的讨论: (1)定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和什么时间称为“黄昏后”。根据天文学的基本知识,在适当简化的基础上,建立数学模型,分别确定“月上柳梢头”和“人约黄昏后”6发生的日期与时间。并根据已有的天文资料(如太阳和
3、月亮在天空中的位置、日出日没时刻、月出月没时刻)验证所建模型的合理性。 (2)根据所建立的模型,分析2016年北京地区“月上柳梢头,人约黄昏后”发生的日期与时间。根据模型判断2016年在哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐是否能发生这一情景?如果能,请给出相应的日期与时间;如果不能,请给出原因。 二、模型假设与符号说明 1.模型假设 (1)假设以地球为运动参照系(地球不动); (2)假设太阳相对地球作圆周运动,如图1示; (3)假设月球相对地球作圆周运动,如图1示; (4)假设各地点海拔一样(忽略海拔); (5)假设月球对地球的赤纬角不变(取实际变化的平均);
4、 (6)假设地球大气层对光线没有影响。 2.符号说明 θ1―月对地相对转角(时角); θ2―日对地相对转角(时角); h1―月球高度角; h2―太阳高度角; ψ1―月球方位角; ψ2―太阳方位角; t―从某开始时间到另一结止时间的时长(小时);6 α1,α2―某一地点某一时刻月亮,太阳的初始转角(时角); ―目标点纬度。 三、模型建立与求解 1.定义说明 (1)高度角h1,h2:目标点处的视线与地平面夹角[2]; (2)方位角ψ:目标点处的视线在地平面上的投影与东西线夹角(注:天文学上定义为正南为0,向东为负,向西为正)①; (3)“月上柳梢头”定义为
5、月球高度角h1=40°±5°; (4)“黄昏后”定义为太阳高度角h2=-15°±5°。 其中h1与θ1,h2与θ2角度关系与目标点纬度有关,具体计算在下文中给出,图2为简化示意图。 2.建立转角及高度角函数θ(t) (1)月球运行函数 注:月球的赤纬角在0到18.3度之间,取平均约为π20弧度 δ=0.3723+23.2567Sinθ+0.1149Sin2θ-0.1712Sin3θ-0.758Cosθ+0.3656Cos2θ+0.0201Cos3θ(单位为度) 上式中,N-N0=当年的累计天。6 (3)“月上柳梢头”月球高度角条件:35≤h1≤4
6、5 (4)“黄昏后”太阳高度角条件:-10≤h2≤20 (5)时间条件:在下午18:00以后,20:30之前。 3.模型求解 (1)问题1求解 以故事的发生地开封(114.3,34.8)为例,给出2015年8月25日6:00开始(这天为农历正月初一,按农历历法,这一天月球近似在太阳与地球的连线上,月球的时角与太阳的时角相同,方便确定初始转角)50天内,符合“月上柳梢头”定义的日期及时间集合,用Mathematica编程,计算出日期与时间如下表: 查询有关天文数据表中数据基本已发生的事实吻合,区别是第5行数据,对应的是2014年农历八月十五晚8点,是中秋佳节,诗中的情
7、景发生在元宵节,应该是一次情景再现。 修改程序中的高度角过滤条件改为±0.5度,并减小步长到6分钟,可以列出一些城市的日出日没、月出月没近似时刻。Mathematics程序计算部分结果如下表2: 经查询,表2中日出日没、月出月没的时间误差约有10―15分钟,约为步长的两倍,考虑程序的计算开销,没用更小的步长计算到更接近于0的高度角对应的时间,这也是误差产生的原因之一,所以模型建立比较合理。 (2)问题2求解6 2016年北京地区“月上柳梢头,人约黄昏后”发
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