高中数学 2_2_3 向量的数乘互动课堂学案 苏教版必修41

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1、在学生就要走出校门的时候,班级工作仍要坚持德育先行,继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育,认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学2.2.3向量的数乘互动课堂学案苏教版必修4疏导引导1.向量数乘的定义及几何意义(1)实数λ与a的积是一个向量,记作λa,它的长

2、λa

3、=

4、λ

5、·

6、a

7、.它的方向是这样定义的:当a≠0时.λ>0,λa与a同向;λ<0,λa与a反向;当λ=0或a=0时,0a=0或λ0=0.(2)根据向量数乘的定义.a与λa为共线向量,两者方向相同或相反,(a≠0,λ≠0)在此前提下,λa可以理解为把a的长度扩大(

8、λ

9、

10、>1)或缩小(

11、λ

12、<1).由此可得向量数乘的几何意义:就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.(3)几点说明①λa中的实数λ,叫做向量a的系数,此系数决定着λa与a的模的关系及方向相同或相反.②向量数乘的特殊情况:当λ=0时,λa=0,而当a=0时,λa=0.③实数与向量可以求积,并且结果为一向量,但不能进行加、减运算,如λ+a,λ-a根本无意义.2.向量数乘的运算律向量数乘满足下列运算律:设λ,u为实数,则(1)(λ+u)a=λa+ua,(2)λ(ua)=(λu)a,(3)λ(a+b)=λa+ub(分配律).疑难疏引向量数乘的运算律与中学代

13、数中实数乘法的运算律极为相似,只是向量的数乘分配律由于因子的不同,可分为(λ+u)a=λa+ua和λ(a+b)=λa+ub.但两者也有区别:中学代数中的实数运算的结果是一个数,只满足一种分配律,而向量的数乘的结果是一个向量,满足两种分配律.3.向量的线性运算向量的加法、减法和向量数乘的综合运算通常叫做向量的线性运算,也叫做向量的初等运算.案例1(1)计算下列各式:①2(a+b)-3(a-b);②3(a-2b+c)-(2c+b-a);③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).(2)设x、y是未知向量解方程组【探究】要解决(1)中的问题,需要用到数乘向

14、量的运算律.包括:数乘向量的分配律及向量加、减法的运算律,其运算过程类似合并同类项.(2)是解关于未知向量的方程或方程组.它与解关于未知数的方程或方程组是类似的,在计算过程中应遵守向量加、减法及向量数乘的运算律.【解】(1)①2(a+b)-3(a-b)=2a+2b-3a+3b=-a+5b.②3(a-2b+c)-(2c+b-a)=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c.配合各任课老师,激发学生的学习兴趣,挖掘他们的学习动力,在学生中培养苦学精神,发扬拼搏精神,形成以勤学为荣的班风;充分利用学校开展的“不比基础比进步,不比聪明比勤奋”以及具有储能特色

15、的“当月之星”的评选活动,积极探索素质教育的新途径在学生就要走出校门的时候,班级工作仍要坚持德育先行,继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育,认真落实学校、学工处的各项工作要求③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=a-b-a-b+a+b=(-+)a+(--+)b=0a+0b=0.(2)把第1个方程的-2倍与第2个方程相加,得y=-2a+b,从而y=-a+b,代入原来第2个方程得x=-a+b.∴规律总结向量的线性运算的最终结果是向量.进行向量线性运算的理论依据是向量数乘的运算法则.4.利用向量数乘的定义和运算律解决几何问题

16、利用向量数乘的定义或运算律可以解决一些几何问题,例如在探求线段相等、三角形相似等问题上.案例2如图,在△ABC中,M、N分别是AB、AC的中点,求证MN∥BC,且MN=BC.【探究】把平面问题转化为向量问题解决非常方便,本题只需证明=.【证明】∵M、N分别是、的中点,∴=-=(-)=.∴∥,且

17、

18、=

19、

20、,即MN∥BC,且MN=BC.规律总结利用平面向量的知识证明平面几何问题,这是向量的一个重要应用,但应注意向量与线段是不同的,它既有大小,又有方向.活学巧用【例1】已知a、b为两非零向量,试判断下列说法的正误,并说明理由.配合各任课老师,激发学生的学习兴趣

21、,挖掘他们的学习动力,在学生中培养苦学精神,发扬拼搏精神,形成以勤学为荣的班风;充分利用学校开展的“不比基础比进步,不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动,积极探索素质教育的新途径在学生就要走出校门的时候,班级工作仍要坚持德育先行,继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育,认真落实学校、学工处的各项工作要求(1)2a与a的方向相同,且2a的模是a模的两倍;(2)-2a与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的倍;(3)-2a与2a是一对相反向量.(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量.分析:本题主要考查向量数乘的

22、定义,在定义中一定要注意λa与a方向及模的关系.解:(1)正确,∵2>0,∴2a

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