高中数学 第二章 平面向量 2_3_1 平面向量基本定理学案 苏教版必修4

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1、2.3.1 平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容,了解向量的一组基底的含义.2.在平面内,当一组基底选定后,会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一 平面向量基本定理思考1 如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示?依据是什么? 思考2 如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么? 梳理 (1)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个________向量,那么对于这一平面内的________向量a,________

2、________实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.(2)基底:__________的向量e1,e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底.知识点二 向量的正交分解思考 一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解,平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示? 梳理 正交分解的含义一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=_____的形式,我们称它为向量a的_____.当e1,e2所在直线互相________时,这种分解也称为向量a的____________.类型一 对基底概念的理解

3、例1 如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是________.(填序号)①λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量;非常感谢上级领导对我的信任,这次安排我向股份公司述职,既是对我履行职责的监督,也是对我个人的关心和爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。②对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个;③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2);④若存在实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0.反思与感

4、悟 考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否非零且不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.跟踪训练1 e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底,则下列各组向量中,不能作为一组基底的序号是________.①e1+e2,e1-e2;②3e1-2e2,4e2-6e1;③e1+2e2,e2+2e1;④e2,e1+e2;⑤2e1-e2,e1-e2.类型二 用基底表示向量例2 如图所示,在▱ABCD中,E,F分别是BC,DC边上的中点,若=a,=b,试以a,b为基底表示,.引申探究若本例中其他条件不变,设=a,=b,试以a,

5、b为基底表示,.   反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种:一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化,直至能用基底表示为止;另一种是列向量方程组,利用基底表示向量的唯一性求解.跟踪训练2 如图所示,在△AOB中,=a,=b,M,N分别是边OA,OB上的点,且=a,=b,设与相交于点P,用基底a,b表示.非常感谢上级领导对我的信任,这次安排我向股份公司述职,既是对我履行职责的监督,也是对我个人的关心和爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。  类型三 平面向量基本定理的应用例3 在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,

6、M,N分别为CD,BC的中点,若=λ+μ,求λ+μ的值.  反思与感悟 当直接利用基底表示向量比较困难时,可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式,然后利用已知条件及相关结论,从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式),再根据待定系数法确定系数,建立方程或方程组,解方程或方程组即得.跟踪训练3 已知向量e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,且a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2,若c=λa+μb(λ,μ∈R),试求λ,μ的值.  1.下列关于基底的说法中,正确的是________.①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基

7、底;②基底中的向量可以是零向量;③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.2.AD与BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线,且=a,=b,则=_____.非常感谢上级领导对我的信任,这次安排我向股份公司述职,既是对我履行职责的监督,也是对我个人的关心和爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。3.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(2x-3y)e1+(3x-4y)e2=6e1+3e2,则x=________,y=________.4.如图所示,在正方形ABCD中,设=a

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