高考训练专题8.7 立体几何中的向量方法（练）-2019年高考数学----精校解析 Word版

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1、A基础巩固训练1.【2017年上海卷】如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________【答案】2．【河南省豫南九校第三次联考】已知直线的方向向量，平面的法向量，若，，则直线与平面的位置关系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线在平面内或直线与平面平行【答案】D【解析】因为，即，所以直线在平面内或直线与平面平行，故选D．3.【甘肃省武威第十八中学】已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(　　)A．45°B．135°C

2、．45°或135°D．90°【答案】C【解析】4.【2018届江西省上饶市高三下学期第三次高考模】已知正三棱柱，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长为2，则A（0，0，0），B1（，1，2），A1（0，0，2），C（0，2，0），=（），=（0，2，﹣2），设异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值为θ，则cosθ===．∴异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为．故选：A．

3、5．【湖南省株洲市2018届高三教学质量统一检测（一）】已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱分别交于三点，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为A．B．3C．D．4【答案】CB能力提升训练1.在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高（）A．1B．2C．13D．26【答案】B【解析】设面的一个法向量为．则,令,则,则,,．故B正确．2.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)．A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A

4、-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值【答案】D3.【2018届北京市海淀区二模】如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.【答案】【解析】4.【2018届南宁市高三毕业班摸底】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，，.（1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）在上取一点，使，连接，，则，，，，，.易知平面的法向量，设面的法向量，由，得.∴.故二面角的余弦值为.5.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】如图，在直三棱

5、柱中，，，点分别为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.（2）设，则，，，，所以，二面角的余弦值为.C思维扩展训练1.如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为，为锐角，且侧面⊥底面，给出下列四个结论：①；②；③直线与平面所成的角为；④.其中正确的结论是（）A.①③B.②④C.①③④D.①②③④【答案】C.2.【2018江西省南昌三中第二次考试】已知半径为的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径是直径的两端点),点是正四面体的表面上的一个动点,则的取值范围是_________________

6、_____．【答案】3.正的边长为4，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角.（Ⅰ）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论.【答案】(1)AB∥平面DEF；（2），（3）在线段上存在点，使．，∴二面角E—DF—C的余弦值为；----8分4.【新课标1】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角

7、的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0,)，F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.……12分5．【天津六校联考】如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是的中点．(1)求证：；(2)在平面内求一点，使平面，并证明你的结论；(3)求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；(3).【解析】(3)设平面的法向

8、量为．