高考专题第60题利用基本不等式处理最值证明不等式和实际问题-2019精品之高中数学（文）---精校解析 Word版

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1、第60题利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题I．题源探究·黄金母题【例1】已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？【解析】设两条直角边为，，根据基本不等式，即，当且仅当时，等号成立，即最小值是．精彩解读【试题来源】人教版A版必修5P100T2．【母题评析】本题考查应用基本不等式求最值．作为基础题，是历年来高考的常考点．【思路方法】和定积有最大值，积定和有最小值．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考天津文13】若，，则的最小值为_________

2、__．【答案】【解析】（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）．【例3】【2017高考山东文】若直线过点，则的最小值为．【答案】【解析】由直线过点可得，．【命题意图】本题主要考查基本不等式的应用．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、转化与化归能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】1．解答此类问题，关键在于灵活运用基本不等式实现和与积互化．如果在解题过程中，两次使用基本不等式，要注意两次使用的条

3、件是不是能同时成立．2．基本不等式的常用形式包含，，，【例4】【2017高考江苏10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则的值是．【答案】30【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立．等．基本不等式可以证明不等式，也可以求最值，再求最值时，注意“一正，二定，三相等”的条件，是不是能取得，否则就不能用其求最值，若是使用2次，更要注意两次使用的条件是不是能同时成立．3．活用“1”，“以常驭变”运用均值不等式求解有关的最值问题．I

4、II．理论基础·解题原理不等式称为基本不等式，常见的与这个不等式有关的其它不等式有：．等．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏难．【技能方法】（1）基本不等式具有将“和式”与“积式”互化的放缩功能，创造运用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是解题的关键，满足取等条件是前提．“和定积最大，积定和最小”“一正二定三相等”是常用的口诀．（2）必须掌握的三个不等式：①，，则（当且仅当时取等号）；②，，则（当且仅当时取等号）；③，，则（当且仅当

5、时取等号）．【易错指导】（1）注意不等式成立的条件是，若，应先转化为，再运用基本不等式求解．（2）“当且仅当时等号成立”的含义是“”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．（3）有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，要切记等号成立的条件．V．举一反三·触类旁通考向1利用基本不等式求最值【例1】【2018贵州凯里一中高三下学期《黄金卷》第二套模拟】函数的最小值为（）A．3B．4C．6D．8【答案】B【解析】，故选．【例2】【2018新疆维吾尔自治区高三二模】设，，

6、，则的最小值为A．B．C．D．（）【答案】A【例3】【2018辽宁辽南协作校高三下学期一模】若且，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵且，∴，即．∴，当且仅当时取等号．∴的取值范围为，故选A．【名师点睛】利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立；（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等；（3）多

7、次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．【例4】【江西上饶市高三下学期二模】已知函数满足，若对任意正数都有，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D所以当时，，单调递增，当时，，单调递减．所以所以，所以在上单调递减．因为，，当且仅当时取等号，所以．令，u(x)是一个增函数，，所以x>1．故选D．【名师点睛】本题的难点在于要反复地构造函数研究函数的单调性，属于难题．构造函数，一般是在直接研究不太方便时使用，构造函数书写更简洁，表述更方便，推理更清晰．【跟踪练习】1．【201

8、8吉林四平市高三质量检测】设，若成等差数列，则的最小值为()A．8B．9C．12D．16【答案】D2．【2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】已知正项等比数列的公比为3，若，则的最小值等于（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】∵正项等比数列的公比为3，且，∴，∴，∴，当且仅当时取等号，故选C．【名师点睛】利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二