高考第94题 不等式选讲-高中数学（文）---精校解析 Word版

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1、第94题不等式选讲I．题源探究·黄金母题【例1】（1）设，则下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．（2）的解集为（）A．B．C．D．（3）的最小值为．【答案】（1）C；（2）A；（3）1．【解析】（1），故选C．（2）很明显，则不等式，解不等式组可得实数的取值范围是：，故选A．（3）由绝对值三角不等式可得．【例2】（1）要证明，可选择的方法有多种，其中最合理的是（）A．综合法B．类比法C．分析法D．归纳法精彩解读【试题来源】例1：人教A版选修4-5P19-20习题1．2T4，5，6改编；例2：人教A版选修4-5P26习题2．2T3，4，5改编．【母题评析】这类题主要考查绝对值不等式的解

2、法与证明、含参数的不等式恒成立问题等，考查考生的分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想．【思路方法】1．绝对值不等式的解法主要有以下三种：分段讨论法；几何法；图象法．2．求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即；(3)利用零点分区间法．（2）设都是正数，则三个数（）A．都大于2B．至少有一个不小于2C．至少有一个大于2D．至少有一个不大于2（3）已知，则使不等式一定成立的条件是（）A．B．C．D．【答案】（1）C；（2）B；（3）D．【解析】（1）要证，只需证，只需证，只需证，只需证，故选用分析法最合理，故选C．（2）都是正数

3、，，当且仅当时取等号，故至少有一个不小于2，故选B．（3），故选D．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考新课标I文23】已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求的取值范围．【解析】试题分析：（1）利用零点分段法把含绝对值不等式问题转化为不含绝对值符号的不等式组问题来求解．将代入，不等式等价于，对按，，【命题意图】这类题主要考查绝对值不等式的解法与证明、含参数的不等式恒成立问题等，考查考生的分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想．【考试方向】这类试题在考查题型上，解答题的形式出现，难度中等偏易．【难点中心】1．讨论得解；（2）当时，．若的解集包含，等价

4、于当时．则在的最小值必为与之一，所以且，得．所以的取值范围为．试题解析：（1）当时，不等式．①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而．所以的解集为．（2）当时，．所以的解集包含，等价于当时．又在的最小值必为与之一，所以且，得．所以的取值范围为．【例2】【2017高考新课标II文23】已知．证明：（1）；（2）．【解析】（1）．（2），零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图像解题．2．解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．3．不等式恒成立问题、

5、存在性问题都可以转化为最值问题解决．．【例3】【2017高考新课标III文23】已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）将函数零点分段然后求解不等式即可；（2）利用题意结合绝对值不等式的性质有，则m的取值范围是．试题解析：（1）．当时，无解；当时，由得，，解得；当时，由解得．所以的解集为．（2）由得，而且当时，．故的取值范围为．【例4】【2017高考江苏】已知为实数，且证明．【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得，即，故．III．理论基础·解题原理1．绝对值三角不等式定理1：如果是实数，则，当且仅当时，等号成

6、立．定理2：如果是实数，那么，当且仅当时，等号成立．2．基本不等式定理1：设，则，当且仅当时，等号成立．定理2：如果为正数，则，当且仅当时，等号成立．定理3：如果为正数，则，当且仅当时，等号成立．定理4：(一般形式的算术——几何平均不等式)如果为个正数，则，当且仅当时，等号成立．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等偏易．【技能方法】1．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式与的解集不等式或且（2）和型不等式的解法①；②或．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．【易错指导】数学

7、归纳法证明不等式的关键使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由时不等式成立推证时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．V．举一反三·触类旁通考向1含绝对值不等式的解法1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，