平行线与三角形内角和的综合应用（习题及答案）.docx

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1、平行线与三角形内角和的综合应用（习题）Ø例题示范例1：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．若∠BAC=60°，∠ACB=85°，则∠E的度数为_____________．解：如图，∵AD平分∠BAC（___________________________）∴（___________________________）∵∠BAC=60°（___________________________）∴∠1=30°（等式的性质）在△ACD中，∠1=30°，∠ACB=85°∴∠EDP=180°-∠1-∠ACB=1

2、80°-30°-85°=65°（___________________________）∵PE⊥AD（___________________________）∴∠EPD=90°（___________________________）∴（___________________________）∴（等式的性质）①读题标注②梳理思路要求∠E的度数，可以将∠E放在Rt△PDE中，利用直角三角形两锐角互余求解，由PE⊥AD，则∠EPD=90°，所以需要求出∠ADC的度数．结合已知条件，把∠ADC放在△ADC中利用三角形的内角和等于180°求解．③过程书写解：如

3、图，∵AD平分∠BAC（已知）∴（角平分线的定义）∵∠BAC=60°（已知）∴∠1=30°（等式的性质）在△ACD中，∠1=30°，∠ACB=85°∴∠EDP=180°-∠1-∠ACB=180°-30°-85°=65°（三角形的内角和等于180°）∵PE⊥AD（已知）∴∠EPD=90°（垂直的定义）∴（直角三角形两锐角互余）∴（等式的性质）Ø巩固练习1.在△ABC中，，则___，___．2.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则图中∠1的度数为___________．1.如图，直线m∥n，在△A

4、BC中，∠C=90°．若∠1=25°，∠2=70°，则∠B=____________．2.已知：如图，AD与BC交于点O，∠C=35°，∠A=∠B=90°，求∠D的度数．解：如图，∵∠A=∠B=90°（已知）∴__________________，__________________（直角三角形两锐角互余）∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等）∴_____________（____________________）∵∠C=35°（已知）∴_____________（等量代换）3.已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠B=34°，∠ACD=50°，求

5、∠A的度数．1.已知：如图，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°．求证：∠E=90°．2.已知：如图，EF⊥BC，DE⊥AB，∠B=∠ADE．求证：AD∥EF．Ø思考小结1.在证明过程中：（1）由平行可以想________相等、__________相等、________互补；（2）要证平行，找_______角、_______角、_______角；（3）要求一个角的度数，如果看成三角形的内角，可以考虑__________________________．2.阅读材料等量代换与等式的性质在欧几里得公理体系中提到过5条公理．这5条公理是我们公认为正确的不证

6、自明的“基本事实”，可以当做已知的大前提来进行使用．而其中的三条，是我们在几何证明中不经意间多次用到的，下面对它们来进行简单的解释．当我们证明时，会遇到如下的推理：∵a=b，b=c∴a=c在这个推理过程中，我们很容易就理解它的正确性，但往往不知道它的依据是什么．其实，它的依据就是欧几里得公理体系中5条公理中的第一条：“（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．”这句话比较的生涩难懂，我们不妨来翻译一下，直观的意思就是“与同一个量相等的所有量都相等”，这就是我们在几何推理中经常用到的“等量代换”．例如，我们经常这么写：①∵a=b，b=5（已知

7、）∴a=5（等量代换）②∵∠A+∠B=90°，∠B=∠C∴∠A+∠C=90°（等量代换）这里推理的依据就是第一条公理，我们把它简记为“等量代换”．“等量代换”还可以解释为把相等的量换掉．与“等量代换”一样，经常用到的还有“等式的性质”．公理中第（2）（3）条的内容如下：（2）等量加等量，总量仍相等．（3）等量减等量，余量仍相等．它们组合起来使用，就叫做“等式的性质”，我们可以找一些例子来看一下．例如：∵a+b=10，c=5∴a+b-c=10-5=5（等式性质）再如：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+2∠1=90°∴∠B+∠C=90°+2∠1（等式的性

8、质）上述过程中的推理依据都是“等式的性质”．一般地，我们利用代数运算进行推理时，其依据基本都是