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《一阶泛函微分方程正周期解的分歧结构①》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第３７卷第１２期西南大学学报(自然科学版)２０１５年１２月Vol?３７No?１２JournalofSouthwestUniversity(NaturalScienceEdition)Dec?２０１５DOI:１０?１３７１８/j?cnki?xdzk?２０１５?１２?０１１一阶泛函微分方程正周期解的分歧结构①马陆一,AbuelgasimalshabyElzebir西北师范大学数学与统计学院,兰州７３００７０摘要:利用分歧理论,研究了一阶泛函微分方程u′(t)＋a(t)u(t)＝λh(t)f(u(t－τ(t)
2、))t∈R正周期解的存在性,其中a,h∈C(R,[０,∞)),τ∈C(R,R),且a,h,τ均为T周期函数．在[０,T]上,a,h≢０;f∈C([０,∞),[０,∞));当u＞０时,f(u)＞０;λ＞０是一个参数．关键词:分歧理论;正周期解;泛函微分方程中图分类号:O１７５?８文献标志码:A文章编号:１６７３９８６８(２０１５)１２００６８０７泛函微分方程是常微分方程的重要分支之一,近年来,许多学者对这类问题进行了广泛的研究,参见文献[１－１０]．１９８６年,文献[１]研究了一阶泛函微分方程?(εu′(
3、t)＝－u(t)＋fu(t－１))t∈R周期解的存在性,其中f?:R→R,ε＞０是一个参数．２００１年,文献[２]运用锥拉伸与压缩不动点定理,研究了一阶泛函微分方程u′(t)＋a(t)u(t)＝λh(t)f(u(t－τ(t)))t∈R(１)正T周期解的存在性,其中T,λ＞０,a,h,τ是连续的T周期函数,a,f,h均为非负函数,a在[０,T]上不恒为０．令f(u)f(u)f０＝limf∞＝limu→０uu→∞u文献[２]获得了如下结果:[２]引理１假设(A１)f∈C([０,＋∞),[０,＋∞)),并且存
4、在一列函数列{u},u,使得f(u)＞０(n＝１,２,?);nn→０n(A２)h(t)＞０(t∈R);(A３)f,f(０,∞)．０∞∈成立．若满足１１＜λ＜σBf∞Af０或者１１＜λ＜σBf０Af∞①收稿日期:２０１５０１２０基金项目:国家自然科学基金项目(１１３６１０５４);甘肃省自然科学基金项目(１２０８RJZA２５８)．作者简介:马陆一(１９９１),男,甘肃天水人,硕士研究生,主要从事常微分方程边值问题的研究．２西南大学学报(自然科学版)http://xbbjb?swu?cn第３７卷则方程(１)至
5、少有１个正周期解,其中TA＝maxG(t,s)h(s)ds０≤t≤T∫０TB＝minG(t,s)h(s)ds０≤t≤T∫０minG(t,s)t≤s≤t＋Tσ＝maxG(t,s)t≤s≤t＋T已有文献很少给出一阶泛函微分方程正周期解的分歧结构．受文献[２,１０]的启发,本文将运用分歧理论研究一阶泛函微分方程(１)正周期解存在的参数区间,其中λ＞０是一个参数,T＞０．１主要结果本文主要假设如下:(H１)a,h∈C(R,[０,∞))为T周期函数,a,h在[０,T]上不恒为０,τ∈C(R,R)为T周期函数;(H
6、２)f∈C([０,∞),[０,∞)),当u＞０时,f(u)＞０;(H３)f,f(０,∞)．０∞∈主要结果为:定理１假设条件(H１)－(H３)成立,当λ满足λ１λ１＜λ＜f∞f０或者λ１λ１＜λ＜f０f∞时,方程(１)至少有１个正的周期解,其中λ１是u′(t)＋a(t)u(t)＝λh(t)u(t－τ(t))t∈R的主特征值．注１定理１的结果比引理１的结果更优．事实上,不妨取a,h≡１,考虑方程u′(t)＋u(t)＝λf(u(t－τ(t)))t∈R容易验证其相应的Green函数满足以下关系:T１eT≤G(t
7、,s)≤Te－１e－１因此:TT?TeA＝maxG(t,s)ds＝T０≤t≤T∫０e－１TTB＝minG(t,s)ds＝T０≤t≤T∫０e－１１σ＝Te此时λ１＝１,只需说明A＞１,０＜σB＜１即可．先证A＞１．易知T?TT?T－eTT(T－１)＋１ee＋１eA－１＝T－１＝T＝Te－１e－１e－１由于T＞０,则eT－１＞０．令第１２期马陆一,等:一阶泛函微分方程正周期解的分歧结构３T(T－１)＋１g′(T)＝T?eTg(T)＝e不妨设T∈[０,∞),则g∈C[０,∞),g(０)＝０且g为增函数．因此g
8、(T)＞０(T＞０),所以A＞１．同理可证０＜σB＜１．从而æ１１öæλ１λ１öç,÷⊂ç,÷èσBf∞Af０øèf∞f０ø或者æ１１öæλ１λ１öç,÷⊂ç,÷èσBf０Af∞øèf０f∞ø２预备知识令X＝{u
9、u∈C(R,R),u(t)＝u(t＋T),t∈R}X按范数‖u‖∞＝max
10、u(t)
11、构成Banach空间．令t∈[０,T]１[０,T]}E＝{u
12、u∈X∩CE按范数‖u‖＝max{‖u‖∞,‖u′‖∞}构成Banach空间．容易
