基于共形几何代数的一种平面并联机构位置正解

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1、２０１０年４月北京邮电大学学报Ａｐｒ．２０１０第３３卷第２期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＢｅｉｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｏｓｔｓａｎｄＴｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓＶｏｌ．３３Ｎｏ．２文章编号：１００７５３２１（２０１０）０２０００７０４基于共形几何代数的一种平面并联机构位置正解倪振松，廖启征，魏世民，李瑞华（北京邮电大学自动化学院，北京１００８７６）摘要：以平面并联机构为题，应用５维几何代数（共形几何代数）方法对该平面并联机构进行了分析，建立了运动学正解模型，并编制了Ｍａｐｌｅ的计算程序，求出了６组位姿结果，最后将分析结果与采用吴方法得到的分析结果进行对照，证明了该方法的有效性．这

2、对用统一的数学工具分析机构学，降低非线性度，增强几何直观性方面做了初步尝试．关键词：几何代数；共形几何代数；平面并联机构；位置正解分析中图分类号：ＴＮ９２９５３文献标志码：ＡＦｏｒｗａｒｄＤｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｏｆａＰｌａｎａｒＰａｒａｌｌｅｌＭｅｃｈａｎｉｓｍｓＰｏｓｉｔｉｏｎＢａｓｅｄｏｎＣｏｎｆｏｒｍａｌＧｅｏｍｅｔｒｉｃＡｌｇｅｂｒａＮＩＺｈｅｎｓｏｎｇ，ＬＩＡＯＱｉｚｈｅｎｇ，ＷＥＩＳｈｉｍｉｎ，ＬＩＲｕｉｈｕａ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＡｕｔｏｍａｔｉｃ，ＢｅｉｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｏｓｔｓａｎｄＴｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００８７６，Ｃｈ

3、ｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄｏｎａｐｌａｎａｒｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍ，ａｆｏｒｗａｒｄｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｍｏｄｅｌｉｓｂｕｉｌｔａｎｄｓｏｌｖｅｄｂｙｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｇｅｂｒａ（ｃｏｎｆｏｒｍａｌｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｇｅｂｒａ）．ＳｉｘｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄｐｏｓｅｒｅｓｕｌｔａｒｅｅｖｅｎｔｕａｌｌｙｏｂｔａｉｎｅｄｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｍｅｎｔｔｈｅＭａｐｌｅｐｒｏｇｒａｍ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓａｎｄａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄａｒｅｖｅｒｉｆｉｅｄｂｙｕｓｉｎｇＷｕｍｅｔｈｏｄ．Ａｎｄｔｈｉｓｄｏｅｓ

4、ｇｏｏｄｆｏｒｆｉｎｄｉｎｇａｕｎｉｆｉｅｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｌａｎｇｕａｇｅｉｎｍｅｃｈａｎｉｓｍａｎａｌｙｓｉｓ，ａｎｄｆｏｒｒｅｄｕｃｉｎｇｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙａｎｄｅｎｈａｎｃｉｎｇｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃｉｎｔｕｉｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｇｅｂｒａ；ｃｏｎｆｏｒｍａｌｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｇｅｂｒａ；ｐｌａｎａｒｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ；ｆｏｒｗａｒｄｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓ［１］１９６５年英国工程师Ｓｔｅｗａｒｔ在进行飞行模拟逆解；反之如果给出连杆长度，要求刚体可能出现的器的研究中提出了一种并联机构，这种与众

5、不同的位姿称为位置正解．通常并联机构的位置逆解问题机构具有输出精度高，结构刚性好、承载能力强、便容易，位置正解则比较困难（与串联机械手正好相于控制等优点，成为机构学研究的一个重要内容．反），因为它常常是一个对非线性方程组的求解问［２］由于少自由度并联机构特别是３自由度并联机构的题．１９８３年Ｈｕｎｔ提出３自由度平面并联机构可［３４］运动学、动力学分析相对简单，且设计制造方便，而作为机器人操作机构；１９９８年韩林等先后得出［５］成为国内外学者研究较多的一类机构，并联机构运封闭形式解；２０００年刘惠林等以符号运算工具应动分析一般分为位置正解分析和位置逆解分析．如用吴方法求出非线性方程组的特征列得

6、到其封闭形果已知刚体的位姿，求此时的连杆长度，称为位置式解．笔者提出一种与上述工作不同的数学建模方收稿日期：２００９０５２６基金项目：国家高技术研究发展计划项目（２００７ＡＡ０４Ｚ２１１）；国家自然科学基金项目（５０７７５０１２，５０８７５０２７）；北京市自然科学基金项目（３０９２０１５）作者简介：倪振松（１９７３—），男，博士生，Ｅｍａｉｌ：ｎｉｚｈｅｎｓｏｎｇ＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ；廖启征（１９４７—），男，教授，博士生导师．８北京邮电大学学报第３３卷法，以共形几何代数建模方法求出非线性方程组得θθＲ（θ）＝ｃｏｓ＋ｓｉｎｅ＝１２到其封闭形式解为一元六次方程．２２θθθθｉ－ｉｉ－ｉＣｌ

7、ｉｆｆｏｒｄ代数包括四元数、对偶四元数和倍四元ｅ２＋ｅ２ｅ２－ｅ２＋ｅ＝１２数．其中倍四元数将３维空间拓展到两两正交平面２２ｉ组成的４维空间．其主要优势是将３维空间的一个ｉθ１ｅｉθ１ｅ１２－１２ｅ２(＋)＋ｅ２(－)＝直线位移看作４维空间大球面上的一个转动，从而２２ｉ２２ｉθθｉ－ｉ将３维空间中机构的移动副转化为４维空间的转动ｅ２ξ＋ｅ２η（１０）副，使刚体的移动和转动获得形式上的统一，可用来