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1、第10卷第1期宁德师专学报(自然科学版)Vol110No111998年3月JournalofNingdeTeachersCollege(NaturalScience)Mar.1998X广义模同构及其在高等代数中的应用林亚南苏秀萍(厦门大学数学系厦门361005)摘要本文用代数上的模和广义模同构的观点,讨论“高等代数”中的若干问题.关键词广义模同构,高等代数,教改中图分类号O151.21预备数域k上的代数A,指的是非空集合A有两种运算:加法+和乘法×,以及k到A的数乘运算.,它们满足(Ⅰ)(A;+,.)是k上线性空间;(Ⅱ)(A;+,×)是环;(Ⅲ)α.(a×b)=(α·-a)×b=a×(α·
2、b),对任意的α∈k,a,b∈A.两个代数(A;+,×,.),(AŠ;º,×,.)称为同-构,如果存在A到AŠ的双射θ,满足(Ⅰ)θ(aºb)=θ(a)ºθ(b);(Ⅱ)θ(a×b)=θ(a)×θθ-(b);(Ⅲ)θ(α.a)=α.θ(a),对任意α∈k,a,b∈A.A与AŠ同构,记为AµAŠ.称代数A带单位元1,如果(A;+,×)是带单位元1的环.设V是k上n维线性空间,记Homk(V,V)为V的线性变换的全体,它对于加法(f+g)(v)=f(v)+g(v),乘法(fg)(v)=f(g(v)),数n×n乘(αf)(v)=αf(v)构成k上代数.记k为k上n阶矩阵全体,它对于矩阵的加法,乘法
3、,数乘构成k上代数.θn×n命题1Homk(V,V)µk(作为k-代数)证明取定V的基η1,⋯,ηn,f∈Homk(V,V),设f在此基下的矩阵为A,即fηηn×n1,⋯,n=η1,⋯,ηnA.令θ:fcaA.易见θ导出代数Homk(V,V)与k之间的同构映射.设A是k上带单位元1的代数,A上的模AM指的是k-线性空间M与A到M的“数乘”,满足:(Ⅰ)(a+b)m=am+bm;(Ⅱ)a(m+n)=am+an;(Ⅲ)1·m=m;(Ⅳ)(ab)m=a(bm);(Ⅴ)α(am)=(αa)m=a(αm),对任意的α∈k,a,b∈A,m,n∈M.例1线性空间V是代数Homk(V,V)上的模,数乘定义为
4、fv=f(v),对任意f∈Homknnn×n(V,V),v∈V.设k是k上n元列向量空间,则k是代数k上的模,数乘定义为矩阵的乘法.2广义模同构neθ定义设A,B是k-代数,且AµB.M是A上的模,N是B上的模.M到N的k-线性映射φθ称为AM到BN的广义模同态,如果φθ(am)=θ(a)φθ(m).特别地,当φθ是双射时,X收稿日期:1998-01-08林亚南,男,1957年10月出生,副教授国家教委面向21世纪数学专业课程设置与教学改革项目·34·宁德师专学报(自然科学版)1998年3月φθφθ称为AM到BN的广义模同构,记为AMµBN,AM和BN称为广义同构的模.注意到当A=B时,上述
5、的φθ即是代数上的模同态和模同构的定义.所以,广义模同态是模同态的推广.φθ定理设V是n维k-线性空间,则有广义模同构n×nnHom(V,V)Vµkk,其中Homk(V,kθn×nV)µk作为k-代数同构,如命题1所述.v1证明取定V的基η1,⋯,ηn.任取v∈V,v在此基下的坐标为⋯,则f(v)在此基下=vnbv1v1的坐标为A⋯.令φθ:vv⋯,易证φθ是k-线性映射且φθ(fv)=θ(f)φθ(v).vnavn代AŠ数由于模的运算的性质在广义模同构下保持不变,可认为广义同构的两个模本质上是一样的,这样可将一个模的问题化为另一个模的问题来考虑,扩大解题思路.易证下面的命题:φθ命题2设n
6、×nn(V,V),θ(f)=A∈kn×nHom(V,V)Vµkk是广义模同构,f∈Homk,A的列向量kn为A1,⋯,An,则(1)φθ导出k-线性空间同构Kerfµ{X∈k
7、AX=0};(2)φθ导出k-线性空间nn同构Imfµ{AX
8、X∈k}=LA1,⋯,An,这里LθA1,⋯,An表H示k中由A1,⋯,An生间成的的子空间;(3)dimImf=dimLA1,⋯,An=秩(A);(4)(dimKerf=n-秩(A).推论设V是n维k-线性空间,f∈Homk(V,V),则dimKerf+dimImf=n.证明由命题2的(3),(4)即得.3应用举例举几例说明在广义模同构的观点下空间与变换问
9、题和列向量与矩阵问题的互相转化.例2设A1,⋯,Am是m个非零的n阶矩阵,求证存在n元列向量X,使得AiX≠0,i=1,⋯,m.证明设θ(fi)=Ai,i=1,⋯,m,这里fi∈Homk(V,V).因Ai非零,故fi≠0.以Kerfi≠V,i-=1,⋯,m.因有限维空间的有限个真子空间不能覆盖整个空间,故有v∈V,使v∈Kerfi,i=1,⋯,m.即fi(v)≠0,i=1,⋯,m.令φθ(v)=X由广义模同构
