数理统计的基本概念2

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1、概率论与数理统计第六章数理统计的基本概念1第六章数理统计的基本概念6.1总体与样本6.1.1数理统计的基本问题在前面的章节中，介绍了概率论的基本内容，从本章开始将介绍一些数理统计的基本知识和一些常用的数理统计方法.概率论中许多问题的讨论，常常是从已给的随机变量X出发来研究X的种种性质，那里X的概率分布都是已知的，或者假设是已知的.2概率论中许多问题的讨论，常常是从已给的随机变量X出发来研究X的种种性质，那里X的概率分布都是已知的，或者假设是已知的.但是在实际问题中，一般说来，人们事先并不知道随机事件的概率、随机变量的概率分布和数字特征，而需要对它们进行估计或作某种推断，这就产生

2、了数理统计的问题.下面看两个例子.3例1从5000个产品中随机地抽检一个产品，结果可能合格，也可能不合格.由概率论可知，这个现象可以用两点分布来描述：X01P1−pp这里，“X=0”表示产品不合格，“X=1”表示产品不合格，p为不合格率.但是，p等于多少是事先未知的，也就是说0—1分布中的参数是未知的.4试问(a)如何求出或近似地求出p的值？(b)如果人们根据以往的生产经验提出假设：“p<0.05”，那么，是同意这个假设还是否定这个假设呢？应该用什么方法来检验？5例2一个工厂生产某种规格的圆柱齿轮.由于原料和加工过程中的种种随机因素的影响，各个齿轮的径向综合误差X的数值一般是不

3、同的，因此加工出来的齿轮，它的径向综合误差X是一个随机变量.但是X的分布函数FX(x)(或概率密度fX(x))是什么，事前是未知的.试问(a)如何求出或近似地求出F(x)(或f(x))的值？6试问(a)如何求出或近似地求出F(x)(或f(x))的值？(b)如果人们根据以往的生产经验提出假设：“X服从正态分布N(μ,σ2)”(μ和σ2已知或未知)，那么，是接受这个假设还是否定这个假设呢？应该用什么方法来判断？(c)如果人们只需要知道X的数学期望和方差，那么，如何估计它们的数值？7怎样解决这些问题呢？对例1来说，由于产品总数是有限的，人们可以对所有产品逐个检验，求出不合格产品所占的

4、比例，就得到概率p；同时，假设“p<0.05”是否成立的问题也就得到了解决.但是，这种普查的方法是不可取的，有时也是行不通的.因为对5000个产品逐个检验，一般来说要耗费很多的人力、物力和时间；特别是，当产品质量的检验是属于破坏性检验时，根本就不可能逐个检验.8这时，在数理统计中通常采用的办法是：从研究对象的全体元素中随机地抽取一小部分进行观察(或试验)，然后以观察得到的资料(或数据)为出发点，以概率论的理论为基础来对上述的问题进行估计或推断，这种方法称为统计推断.9统计推断的问题可以分为两类：一类是对未知参数以及对未知概率分布(分布函数、概率密度或分布列)的估计问题.另一类是

5、对未知参数和概率分布的假设检验问题.这些都是数理统计的基本问题.当然，上述问题远未穷尽数理统计的所有基本问题.例如，数理统计还要研究如何科学地安排试验，才能最经济、最有效地取得统计推断所必需的数据资料.这部分内容，我们不讨论.为了研究统计推断问题，下面依次介绍总体和样本的概念.10第六章数理统计的基本概念6.1总体与样本6.1.2总体(Population)在数理统计中，人们把所研究的全体元素所构成的集合称为总体(或母体)，而把组成总体的每个元素称为个体.如果总体包含有限个个体，则称为有限总体(或具体总体)，如果总体包含无限个个体，则称为无限总体(或抽象总体).11如在例1从5

6、000个产品中随机地抽检一个产品检查是否合格的试验中，每个产品是个体，5000个产品就是一个总体，它是有限的；在例2考察齿轮的径向综合误差的试验中，每一件齿轮是个体，生产出来的全部齿轮是一个总体，它是无限的，这是因为我们可以设想，工厂生产这种齿轮可以在相同的条件下无限地生产下去.再如，某城市现有大学生组成的集合是个有限总体，而该城市在一定条件下培养起来的大学生组成的集合是个无限总体.12当用数理统计方法研究总体时，人们主要关心的不是每个个体本身，而仅仅是与每个个体的某种数量指标(或特征)的有关问题.如在例1从5000个产品中随机地抽检一个产品检查是否合格的试验中，人们关心的是刻

7、画产品合格与否的数量指标X的概率分布问题；在例2考察齿轮的径向综合误差的试验中，人们关心的是齿轮的径向综合误差X的概率分布问题.因此，对总体的研究实际上就是对某一个随机变量X的概率分布的研究.13为了便于叙述，一旦所考察的数量指标明确以后，就可以把总体与数量指标及相应的概率分布等同起来，也就是说，总体是一个概率分布或服从这个概率分布的随机变量.如在例1从5000个产品中随机地抽检一个产品检查是否合格的试验中，总体就是0—1分布或服从这个分布的随机变量X，在例2考察齿轮的径向综合误差的试验中，