直线和平面所成的角与二面角人教版

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1、直线和平面所成的角与二面角【高考导航】立体几何中的角大致可分为三种，即线线角，线面角，平面与平面所成的二面角•立体几何计算问题几乎都与三种空间角的计算有关，是高考立体儿何检测的热点内容，题型上一般以解答题进行考查，难度适屮，如1993全国理5分；1995全国文5分；1996全国4分；2002北京4分；1996上海12分；2002全国理12分；2002新课程12分；2002上海春12分；2003北京春5分;2004北京14分;2004广东12分等.【学法点拨】本节内容有斜线在平面上的射影，斜线与平面所成的角，公式COS&二COS

2、&i・COS&2,最小角定理，二面角的概念，二面角的平面角，两个平面垂直的判定定理及性质定理，对于本节知识的学习要了解线面角、半平面与半平而所成二面角以及异面直线所成角，在求法上一般都是转化为平面的角，具体地，通常应用“线线角抓平移，线面角抓射影，面面角抓平血角，利用向量抓法向量”而达到化归的目的.要注意对平面角的拼求和各种角的定义及取值范围•空间角的计算步骤是“一作，二证，三计算”.“作”即在图形屮若无所求空间角的平面角，应先作出来；“证”指明自己所找或所作的角即为所求角；“计算”在平面几何图形内把角求出.在三种角的计算中要

3、特别注意二面角的作法及求法，注意COS&二cos创POS&2在线面角求值屮的应用，注意利用射影面积公式S'=S・COS0求二而角，对于平面与平面垂直的判定与性质的学习，可以与直线与直线垂直，直线与平面垂直的判定与性质联系起来，应用时注意三种垂直之间的相互转化.同时在学习中培养空间的想象能力、解决问题的能力以及逻辑推理能力和运算能力.【基础知识必备】一、必记知识精选平而的斜线和平而所成的角.(1)直线与平面所成角①范围：0°WaW90°当a二0°时，直线在平面内或直线平行于平面；当a=90°时，直线垂直于平面；当0。

4、时，直线与平面斜交.②最小角定理：直线与平面斜交，过斜足在平面内作直线，这些线与斜线所成角中射影与斜线所成角最小.③COS&二COS01・COS^2.④作法：作出直线和平面所成角，关键是作垂线，找射影.(2)二面角①定义：由一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角.②二面角的平面角：定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.对概念的理解要注意：平面角的两边分别在二面角的两个半平面内；平面角的二边都和二面角的棱垂直.③二面角平面角的求法：直接法：所谓直接法即

5、先作出二而角的平面角，经过证明后再进行计算，常用的直接法有三：Q)利用平面角的定义；(b)利用三垂线定理；(C)过一点作棱的垂面.间接法：所谓间接法，就是不作出二面角的平面角，而利用公式COS&二独.此方法也叫射影法.也可利用两半平面法S向量的夹角求二面角.注意当直接作11!二面角的平面角有一定难度吋，一般才采用间接法求二面角大小.④二面角的范围是0°W&W180。，可从两个半平面“重合”、“相交”和“共面”各种情况考虑，重合时&二0°；相交时，0°<&<180°；共面时，0=180°.(1)两个平面垂直的判定①定义：如果两相

6、交平面所成二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.两个平面互相垂直是两个平血相交的特殊情况，若两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直,它和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似./

7、②判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直•即，屏=13丄a•简言之，“线面垂直=>面面垂直”.(1)两个平面垂直的性质①如果两个平面互相垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角.②性质定理：如果两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.即"丄=/1na丄au0卫丄/a.简言之，“

8、面面垂直=>线面垂直”.③如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点和另一个平面垂直的直线，必在此平面内.④如果一个平面和二个相交平面都垂直，那么它就和它们的交线垂直.(2)从两个平面垂直的判定定理和性质定理中可看出，平面与平面的垂直问题可转化为直线与平面的垂直问题，即从线面垂直可推出面面垂直，反过来，由面面垂直又可推出线而垂直，这说明线面垂直与面面垂直之间有密切关系，可以互相转化.二、重点难点突破本节的重点是斜线在平面上射影的概念，斜线与平血所成角的概念，二血角的概念，两个平而垂直的判定定理•对于斜线在平面上的射影可通过具体

9、作图具体体验，要注意。点选取的任意性及斜线在平面上的射影是直线不是线段，斜线与平面所成角要紧扣概念，了解范围.本节的难点是cos&二COS&i・cos&2的灵活应用，二面角的平面角.对于二面角的平面角和平面中角的概念作类比，注意化归思想的应用，二而角的考查在1993至2004