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《2017_2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式同步配套.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、二一般形式的柯西不等式对应学生用书P32名称形式等号成立条件三维形式柯西不等式设臼1,血,&3,力1,b“厶WR,贝1」(蔚+£+云)(Z?i+Z>j+Z>3)M(ab+a>b>+aib.y当且仅当b=/=b、=0或存在一个实数A使得ai=kb&i=,2,3)--般形式柯西不等式设日1,型，日3,…，clnrb,b"&,…，b”是实数，则(£+£+•••+£)•(圧+£H氏)事仙A+必VaM2当且仅当&=0(7=1,2,…,7?)或存在一个实数k,使得&=kbi(i=1,2,…，n)［说明］一般形式的柯西不等式是二维形式
2、、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方.在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式.对应学生用书P32利用柯西不等式证明不等式［［1乙［例1］设力血…，几都是正数，求证：了+二+…+鼻匕+邸…+如［思路点拨］根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证［证明］T(简+曲X.)(—+丄丄］X2XnJ7Z+—2-—_———-.XX2Xn十捡Xn［方法・规律•小结］二柯西不等式的结构特征可以记为：（创+戲~a^•（bi+bz~
3、b>2Z&15+寸曰2厶Tp昂方”）1其中b€R+3=1,2,…，/?）,在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，止确地配凑岀公式两侧的数是解决问题的关键.I、二題他集轲‘〃〃/1.己知日，b,c,d^.R+,且a+b+c=1,求证：p3日+1+勺3力+1+寸3q+1W3边.证明：根据柯西不等式，有（冷3々+1+p3b+1+寸3c+1）2W（1+1+1）（3臼+1+3方+1+3c+1）=18,寸3仪+1+寸3方+1+寸3c+1W3*^2.利用柯西不等式求最值［例2］⑴已知“厂zUR+,且x+y+z=.149
4、求-+-+一的最小值.xyz（2）设2%+3y+5z=29.求函数“=#2x+l+#3y+4+#5z+6的最大值.149<149A［思路点拨］⑴利用一+丄+三=-+-+77（卄y+z）.xyzxyqJ⑵利用（寸2x+1+寸3y+4+p5z+6）'=1X寸2卄1+1X寸3y+4+1X寸5z+6）2.［解］⑴J卄y+z=l,，.丄+生+?=卩+企+马（卄+力xyzxyz）当且仅当x=2=^即x=£，y=*，z=*时取等号.149所以一+—+三的最小值为36.xyz(2)根据柯西不等式，有Z2卄1■1+寸3y+4■1+寸5z+6•I
5、)2W[(2/+l)+(3y+4)+(5z+6)]・(1+1+1)=3X(2/+3p+5z+ll)=3X40=120.故1+寸3y+4+^52+6W2倔，当且仅当2x+l=3y+4=5z+6,27oqoo即尸#，尸夺时等号成立.此时"碎=2羽5.
6、[方法・规律・小结]「利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标两数进行配凑，以保证出现常数结果.同时,要注意等号成立的条件.〃〃〃氐他集辄7////1.设日，b,c,〃均为正实数，则(a+b+c+d)・(£+*+*+》的最小值为解析：(+++》・£+出+》=[（诵）三+（边）"+（迄）2+
7、（y[d）2]=(1+1+1+1)2=42=16,当且仅当a=b=c=d时取等号.答案：161.已知：x,y,zWR+且x+y+z=2,则心+2远的最大值为()A.2y[7B.2^3C.4D.5解析：T2^/y+-/3z)2=(1Xy[x+2y[y+y[i•(l2+22+(£)')[(&)'+(r[y)2+(形尸]=8(x+y+z)=16.(当且仅当*=*=*;=#时取等号)y[x+2y[y+4.答案：C2.把一根长为12m的细绳截成三段，各围成三个正方形.问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，并求此最小值.解：
8、设三段绳子的长分别为x,y,2,则%+y+z=12,三个正方形的边长分别为扌，$彳均为正数，三个正方形面积之和：$=点｝+(彳)+(丫)=令(，+声+刃・•・・(12+12+12)(/+y+z)>U+y+z)2=122,即x+f+/M48.从而妙丄><48=3.10又x+y+z=12,AX=y=Z=4吋，Snin=3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3代cWR+,)B.3当且仅当时取等号,A.9CpD.6解析：柯西不等式得卄2b+3c=(卄2卄3疋+寺+£;卜(1+1+1尸=9,：.a+2b+3c的最小值
9、为9.答案：A2.已知吕J+曰肿=1,x2+x2~-x/=l,贝ijaX+aix-i~玄血的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析：（日必+日2疋anxy^（＜312+a22H^）2）（^i2+x2x/）=1X1=1,当且仅当沪斜亠汁时
