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1、对于齐次线方程组心=0,其基础解系由n-r{X)=n-r个向量组成.因此0是A的特征值，基础系是2=0的特征向量.从而A有〃个线性无关的特征向量，A可以对角化(2=1是r重根，2=0是斤-厂重根)，且有1AD10【证法二】因为A2=A所以A的特征值只能是0或1(【例5.9】).又因A(E-A)=0,有r(A)+r(E—A)W/i,而HA)+HE—A)n”A+(E—A)]=r(E)=n.可见r(A)+r(E-A)=/?,又r(A)=r,所以r(E-A)=n-r.当2=1时，(E-A)x=0的基础解系由〃一厂(A)=n-(n-r)=r个向量组成；当2=
2、0时，(0E-A)x=0的基础解系由〃一厂(A)-n-r个向量组成.这样A有〃个线性无关的特征向量，下略.【评注】要理解A能对角化的条件(5.8)〜(5.10),当A的特征值心有k重根时，关键是r(A)E-A)是否等于n—k,它关系到心是否有£个线性无关的特征向量.(11)【例5.27]证明A=不能对角化.(01丿【证明】A是上三角矩阵，特征值是1(二重).由于r(E-A)=l,所以2=1只有
3、回厂(E・A)二1
4、个线性无关的特征向量，因此A不能对角化.【注】如A不能对角化，则蕴涵A的特征值一定有重根，并且至少有一组线性无关的特征向量的个数要小于其
5、重根数.题型(六)相似对角化的应用【解题提示】如ADA,设P-'AP=A，则A=PAP-',那么A2=(PAP^XPAP'1)二PA2P_,,也A”二PNP通过对角化可求A".f-l【例5.28］己知A=-2.410、20能对角化，求A”.兀1丿Z【例5.29]A是川阶矩阵，2,4,…，2〃是A的个特征值，E是兀阶单位矩阵，计算行列式
6、A-3E
7、.于是得A-3E=PNP-'—3PP_'=P(A—3E)P~x,从而
8、A-3E
9、=
10、p
11、L
12、a_3E
13、_
14、p_,
15、=
16、A-3E
17、=_(2N-3)!!.【评注】本题更好的解法是利用公式(5.3)•由于A的特
18、征值是2,4,-..,2h.所以A-3E的特征值是-1,1,3,…92〃—3.从而A-3E
19、=(-1)303---(2/?-3)=-(2n-3)!!.题型(七)有关特征值与特征向量的证明【例5.32】A是斤阶正交矩阵，2是A的实特征值，X是相应的特征向量.证明2只能是±1,并且X也是以的特征向量.【证明】按特征值定义，对于AX=QX,经转置得XW=(AX)r=(AX)T=AX7',从而xTx=xWax=(Axr)(2x)=A2xTx,得(1-A2)X7X=O.因为［g是实特征向量，XTX=x^x；+-^x;t>0,可知A2=1,rti于久是实数，故
20、只能是1或・1.若2=1,从AX二X,两边左乘A丁，得到ArX=ArAX=X,B卩X是以关于A=l的特征向量(类似可有久=_1的论证，下略).‘4一5、,2-3,r4、一5A厂的特征向量往往是无关联的.例如A二【评注】如A是兀阶矩阵，^
21、AE-A
22、=
23、(2E-A)r
24、=
25、/IE-A7j知A与A7"有相同的特征值，但A与3)，虽特征值都是2和-1,但A关于-3丿A=2的特征向量是<2>，而A7*关于A=2的特征向量是【例5.33】A,B均是〃阶矩阵，证明AB与BA有相同的特征值.【证明】设入是AB的非零特征值，X。是AB对应于入的特征向量，即(AB)
26、X0=^X0(X°HO).用B左乘上式，得BAeXojr^BX。.下面需证BX()HO(这样BX()就是矩阵BA对应于入的特征向量).(反证法)如BXo=O,那么(AB)Xo=A(BXo)=O,这与(AB)X0=4%0^0相矛盾.所以入是BA的特征值.如入=0也是BA的特征值.同样可证BA的特征值必是AB的特征值，所以AB与BA的特征值相同.【评注】对于抽象给出的矩阵，论证通常是由定义AX=2X111发，经恒等变形录求结论.【例5.34]A,B均是n阶矩阵，且秩r(A)+r(B)<证明：A,B有公共的特征向量.【例5.35】若任一〃维非零向量都是斤
27、阶矩阵A的特征向量，则A是数量矩阵.【证明】因为任一几维非零向量都是A的特征向量，所以A有〃个线性无关的特征向量，从而A可以对角化.特別地，n维单位向量弓=(。，…丄…,。)，」=1,2,…，仏是A的特征向量.令戶=(勺，勺，…,匕),则有P=E,且a｝,入A=P_,AP=A=巳.■■IAJ若A｝是特征值人工易，则由于弓心｝分别是A的特征向量(请复习考点诠释3),这与已知条件任一非零向量都是特征向量相矛盾，同理可知人=入=…=人，即A是数量矩阵.【例5.36】A是3阶矩阵，且有3个互相正交的特征向量，证明A是对称矩阵.【分析】非零正交向量组是线性无
28、关的，故有3个线性无关的特征向量，即A可以对角化，并且可以用正交变换化为对角形.【证明】设A的特征值是九入，入，相应的特征
