数学解题说题

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1、1.如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。（1）求V(x)的表达式；（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。【命题意图】考查棱锥的体积的求法，函数的极值和空间直线的关系【参考答案】(1)已知EFAB,那么翻折后，显然有PEEF,又PEAE,从而PE面ABC,即PE为四棱锥的高。，V(x

2、)=（）（2），所以时，，V(x)单调递增；时，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；（3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=，，在△PFM中，，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为1/7；6/6解2：四棱锥的底面积S=-而△BEF与△BDC相似，那么===则S=-=（1-）63=9（1-）故四棱锥的体积V(x)=SH=9（1-）=3（1-）(00,V(x)单调递增；x∈(6，3)时V’(x)><0,V(x)

3、单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值V(x)max=V(6)=12(3)过P作PQ∥AC交AB于点Q那么△PQF中PF=FQ=而PQ=6进而求得cos∠PFQ=故异面直线AC与PF所成角的余弦值为6/62.在数列与中，，，数列的前项和满足，为与的等比中项，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求数列与的通项公式；（Ⅲ）设，证明．本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳法等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．（Ⅰ）解：由题设有，，解得．由题设又有，，解得．（Ⅱ）解

4、法一：由题设，，，及，，进一步可得，，，，猜想，，．先证，．当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：（1）当时，，等式成立．（2）假设当时等式成立，即，．由题设，，①．②①的两边分别减去②的两边，整理得，从而．6/6这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立．综上所述，等式对任何的都成立．再用数学归纳法证明，．（1）当时，，等式成立．（2）假设当时等式成立，即，那么．这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立．解法二：由题设，①．②①的两边分别减去②的两边，整理得，，所以，，……

5、，．将以上各式左右两端分别相乘，得，由（Ⅰ）并化简得，．上式对，也成立．由题设有，所以，即，．6/6令，则，即．由得，．所以．即，．解法三：由题设有，，所以，，……，．将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得，．由（Ⅰ），上式对，也成立．所以，．上式对也成立．以下同解法二，可得，．（Ⅲ）证明：．当，时，．注意到，故．当，时，6/6．当，时，．当，时，．所以，从而时，有总之，当时有，即．6/6