边界元通用大规模快速算法研究

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1、边界元通用大规模快速算法研究王鹏王海涛于溯源（清华大学核能与新能源技术研究院，北京，100084）摘要：边界元法已经广泛应用于声场、电磁场和温度场等领域的数值计算。受计算效率的限制，传统边界元法不适合求解大规模问题。本文将ACA（AdaptiveCrossApproximation）算法用于边界元法的大规模快速求解，分析使用ACA算法的边界元求解计算复杂度和求解流程，数值研究ACA算法的计算精度和适用的求解范围，并与其他算法比较。结果表明，ACA算法与传统求解算法相比，在求解效率上有数量级的提高，同时可以控制精度，能够在

2、单台普通微机上完成大规模复杂结构的边界元数值仿真。关键词：边界元；AdaptiveCrossApproximation；大规模；声场；电磁场ResearchofGenerally-purposedLarge-scaleFastAlgorithmfortheBoundaryElementMethodPengWANGHaitaoWANGSuyuanYU(InstituteofNuclearandNewEnergyTechnology,TsinghuaUniversity,Beijing,100084,China)Abstra

3、ct：Theboundaryelement(BEM)hasbeenwidelyusedinthenumericalsimulationoftheacoustic,electromagneticandtemperaturefields.TheconventionalBEMisnotsuitableforlarge-scaleproblemsbecauseofthepoorcomputationalefficiency.Inthispaper,theACA(AdaptiveCrossApproximation)algorit

4、hmisintroducedforthelarge-scalefastsolutionoftheBEM.ThecomputationalcomplexityandperformanceprocedureoftheBEMsolutionbyuseoftheACAalgorithmareanalyzed,andthecorrespondingaccuracyandcomputationalscopeisstudiednumericallyincomparisonwithotheralgorithms.Theresultssh

5、owthattheefficiencyofACAisatleastoneorderofmagnitudehigherthanthatoftheconventionalalgorithmsandthattheaccuracyiscontrollable.TheBEMsimulationoflarge-scalecomplexstructurescanbeperformedononedesktopcomputerbyuseofthisnewalgorithm.Keywords：boundaryelement；Adaptive

6、CrossApproximation；large-scale;acousticfield；electro-magneticfield60引言与有限元法相比，边界元法只需在结构表面离散网格[1]，而且易于处理无限域，因此适用于声场、电磁场、温度场等多种物理场的数值计算。例如在结构振动噪声仿真中，边界元法可用于内域和外域声场计算，并可与有限元结构计算耦合分析[2,3]。传统边界元法形成的线性代数方程组AX=B中的系数矩阵A通常是满阵，对某些物理场问题如弹性力学，A也是非对称的。满阵的存储量级是，其中N是边界元方程的未知量个数

7、。使用直接算法如高斯消去、LU分解等求解该方程组所需计算量级为；使用迭代算法如共轭梯度(CG)、广义极小残差法(GMRES)等求解计算量为，其中k是迭代收敛步数，通常近似看做是远小于N的常数。可以看出，当N增加时，传统边界元法无论使用直接解法还是迭代解法，其存储和计算量均呈2次或更高的增长速度，将很快达到计算机的求解能力上限。因此传统边界元法不适合处理大规模问题。为提高边界元法的求解效率，将边界元法与求解具有类似特征物理场的快速算法结合成为近年来的边界元主要研究方向之一，其中最有代表性的是快速多极边界元法。边界单元之间的

8、相互作用类似于有势场中粒子之间的相互作用，如天体之间的万有引力、带电粒子之间的静电力等，这种相互作用的特点是与作用双方的距离呈反比。N个粒子的相互作用的直接计算量为6。1986年，Barnes和Hut提出树代码算法(TreeCode)[4]，将多粒子场的计算量降至。1987年，Greengard和Rokhlin提出快