关于抽象函数性质的几个问题

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1、关于抽象函数性质的几个问题5、周期性问题关于函数的周期性，需要弄清下列两个问题：(1)函数的周期性与对称性有什么关系？(2)函数的周期性与奇偶性有什么关系？F而的表格反映函数的周期性的一些规律。函数关系(XG/?)周期f(x+T)=f(x)Tf(x+T)=-f(x)2T/(x+T)=±-l-/(x)2T/(x+T)=/(x-T)2T/(x+T)=-/(x-T)4Tf(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)2(b-a)f(a+x)=f(a-x)f(x)为偶函数2af(a+x)=—f(a-x)f(b+x)=—f(b-x)2(b-a)f(a+x)=—f

2、(a-x)f(x)为奇函数2af(a+x)=f(a-x)f(b+x)=—f(b-x)4(b-a)f(a+x)=f(a-x)f(x)为奇函数4af(a+x)=-f(a-x)f(x)为偶函数4a例1、设定义在R上的函数/(兀)满足f(x)/(x+2)=13，若/o空，则/(99)=()例2、函数/(x)对于任意实数x满足条件/(x+2>—,若/(1)=—则/(兀)/(/(5)手例3、设/(兀)是(-OO,+00)上的奇函数,/(x+2)=-/(%),当0

3、,则/(6)=例5、设/(劝是定义在R上以6为周期的函数，/(兀)在(0,3)内单调递减，且=/(x)的图像关于直线x=3对称，则下面结论正确的是()A、/(1.5)4/(3.5)勺(6.5)B、7X3.5)今(1.5)今(6.5)C、/(6.5)今(3.5)今(1.5)D、/(3.5)今(6.5)今(1.5)例6、设/(x)是定义在R上的偶惭数，其图像关于直线x=l对称，对任意舛,兀2丘0,-都有/(无

4、+无2)=/(西)/(兀2)，且/(1)=^>0(1)求/(f)及/(f)(2)证明/(兀)是周期函数6、周期变换问题关于周期变换问题，有下面的问题需要

5、弄清：当图像经过平移变换，伸缩变换或绝对值变换之后，函数的解析式有什么变化？他们的变换入下表所示：平移变换向左移a(a>0)个单位向右移a(a>0)个单位向上移b(b>0)个单位向下移b(b>0)个单位按向量a=(A,k)平移y二f(x)的图像Ty=f(x+a)的图像y=f(x)的图像-^y=f(x-a)的图像y二f(x)的图像T>y二f(x)+b的图像y二f(x)的图像Ty=f(x)・b的图像y=f(x)的图像Ty二f(x-h)+k的图像伸缩变换每点纵坐标伸a(a>0)倍每点横坐标伸a(a>0)倍y=f(x)的图像-^y=af(x)的图像y=f(x)的图

6、像T>y=f(x/a)的图像绝对值变换关于y轴对称将兀轴下方图像翻上y=f(x)的图像Ty二f(1x1)的图像y=f(x)的图像Ty=lf(x)l的图像例1、己知函数f(x)=x+,则幣数/(兀+1)的图像关于直线x=2对称的方程式3例2、将函数y=——的图像向左平移一个单位得到y=/(x)的图像，再将f(x)的x+a图像绕原点旋转180°后与y=/(兀)的图像本身重合，则a的值为()A、B、1C、0D、・3例3、设函数y=/(x)为定义在R上的奇函数，且满足/(x-2)=-/W对于一切xwR都成立，又知，当—15x51时，/(%)=+,则下列4个命题：

7、1)/(兀)是以4为周期的周期函数2)/(%)的图象的对称轴中，有x=±13)/(x)在xu[1,3]的解析式为a,0,1)/(%)在xw[3,5]的解析式为/(x)=(x-4)3其中正确命题的个数为()A、1B、2C、3D、47、已知函数方程研究函数的性质举例例1、定义在R上的函数/(兀)满足/(兀+y)二/(兀)+f(y)+2xy(x,ye/?),/(I)=2,则/(-3)等于例2、定义在R上的函数/(x)满足：1、fix+2)-/(-%-2)=02、/(x+l)+/(x)=O3、当-5

8、角形的两个内角弘0,下列结论屮正确的是()A、/(sina)>/(cos0)B、/(sina)/(cos0)例3、设eR,函数/(x)满足/(x+y)—/(R—/(y)=且/(l)=1,求适合/(/?)=的所有正整数〃例4、函数/(兀)是定义在(0,+8)上的增函数，且满足f(^y)=/(兀)+/(y)(x,y>0),f(2)=11、求/(1)的值2、求满足f(x)+f(x-3)<2的兀的取值范围X1例5、已知在R上定义的函数/(力满足/(x)+f(l-x)=1,/(-)=-/(x),

9、/(0)=0,且当520