方程的精确解

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1、Seediscussions,stats,andauthorprofilesforthispublicationat:https://www.researchgate.net/publication/268065805ExactsolutionstomKdVequationArticle·January2004CITATIONSREADS0114authors,including:XiangzhengLiHenanUniversityofScienceandTechnology56PUBLICATIONS2,089CITATIONSSEEPROFILESomeoftheauthorsof

2、thispublicationarealsoworkingontheserelatedprojects:theNationalNaturalScienceFoundationofChinaViewprojectAllcontentfollowingthispagewasuploadedbyXiangzhengLion17February2017.Theuserhasrequestedenhancementofthedownloadedfile.第$#卷第,期河南科技大学学报（自然科学版）48F+$#’8+,$!!,年.月58CDE6F8GHBE6EIE:JBDK:@L8GM7:BE7B6

3、E3NB7AE8F8OL（’6@CD6FM7:BE7B）PCO+$!!,文章编号："-)$*-.)（"$!!,）!,*!!.-*!,!"#$方程的精确解李修勇，秦青，李保安，李向正（河南科技大学数理系，河南洛阳,)"!!%）摘要：对求解非线性数学物理方程的/0展开法作了一点扩展，并利用此方法求出了1234方程的一些用56789:椭圆函数表示的双周期波解，尤其是用两个不同56789:椭圆函数表示的周期波解。在极限情形，得到了该方程的孤立波解（如激波解）和三角函数表示的周期波解。关键词：1234方程；/0展开法；周期波解；56789:椭圆函数中图分类号：%&’()*文献标识码：+,前言非线性

4、数学物理方程的精确解对理解非线性数学物理方程所表示的物理现象有很大的帮助。因此，求解非线性数学物理方程的解析解在非线性问题中占有重要的地位。最近，出现了许多求非线性数学物理方程精确解的新方法，如齐次平衡方法［";)］，56789:椭圆函数展开法［.］，/0展开法［.;"$］等等。本文利用/0展开法的正负幂形式求解1234方程，得到一系列精确解，尤其是用两个不同56789:椭圆函数表示的精确解。本方法可以求解其它类似非线性数学物理方程。&方法简介考虑非线性偏微分方程!（"，"#，"$，"##，"$#，"$$，⋯）%!（"）其中等号左边为"及其各阶导数的多项式。（"）求方程（"）的行波解，令

5、"%"（!），!%$&’#（$）其中’为波速。将式（$）代入方程（"），则方程（"）化为常微分方程（<=>）!（"，"(，")，⋯）%!（%）（$）设"（）可表示为*（）的有限项幂级数!!+,，-"%!-,*+"!（,）,%&+其中-（,,%&+，&+."，⋯，+）是待定常数。*（!）满足<=>($,$*%!*./*.0（#）其中!，/，0为常数，正整+数由方程（%）中具支配地位的非线性项与最高阶导数项的齐次平衡确定。（%）将式（,）代入方程（%），并利用方程（#），可将方程（%）的左端化为*（）的多项式。令*（）的各!!次幂项的系数为零，得到关于-（,,%&+，&+."，⋯，+）和’的

6、代数方程组。（,）借助?6@AB16@:76求上述代数方程组，可求得由!，/，0表示的-（,,%&+，&+."，⋯，+）和’，将这些结果代入式（,）得到方程（"）的行波解浓缩公式。基金项目：河南省自然科学基金资助项目（!"""!#!$!!）；河南省教育厅自然科学基金资助项目（$!!%""!!!%）；河南科技大学科研基金资助项目（$!!%&’"%）作者简介：李修勇（"()#*），男，湖南邵阳人，助教+收稿日期万方数据：$!!,*!-*!$第7期李修勇等：)*+,方程的精确解·31·（!）取!，"，#的值使方程（!）的解$（）是"#$%&’椭圆函数，代入方程（(）的行波解浓缩公式，可分!别给

7、出方程（(）的"#$%&’椭圆函数表示的周期波解。!"#$%方程的行波解浓缩公式考虑)*+,方程%-%&’"%(’#%((().（/）其中"0.。将式（-）代入方程（/）得-%,’#%$).（1）*+%,’"%将方程（1）两边对积分一次，取积分常数为零得!(2*+%’"%’#%-).（3）2由%2和%-的齐次平衡得.4(，则56展式（7）具形%)/$*($（8）*(’/(其中/9(，/(为待定常数且/(!.，$（!）满足方程（!）。