欧几里得空间习题ppt教学课件

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1、欧几里得空间1.设在为1)证明：在这个定义之下2)求单位向量的度量矩阵；3)具体写出这个空间中的柯西—布涅科夫斯基不等式.中定义内积成一欧氏空间；阶正定矩阵，而是一个解：1)由于时，故成一欧氏空间.当且仅当是正定矩阵，所以2)设所求度量矩阵为从而则3)故柯西—布涅科夫斯基不等式为2.设1）如果2）如果那么使对任一有那么使是欧式空间的一组基，证明：证：1）知故由的线性组合，即可表示为是的一组基，所以2)由题设，特别对基即由1）知即有3.设其中求解：首先不难证明将它们正交化得是线性无关，的一组标准正交基

2、.的一组标准正交基，是5维欧氏空间单位化得则的一组标准正交基.就是4.在解：取将它们正交化得出发作正交化）.标准正交基（由基的一组求中内积定义为单位化得则为一组标准正交基.5.设1）证明：2）证明：证：1）由于从而是的一个子空间.故有对任意非空，所以的维数等于是的一个子空间；是中一固定向量.维欧氏空间，是2）由于这时，因为所以对任意由的一组正交基将它扩充为是线性无关的，有其维数为的一组基，是从而线性表出，可由即得6.设证明：当且仅当维欧氏空间时，线性无关.的一组向量，而是证：设从而线性无关.即时，该

3、方程组只有零解，又当且仅当的解，是取内积得两边与7.证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为1或-1.证：设也是上三角矩阵，从而则是正交矩阵，且于是得此即或又由为对角阵，故8.1）设是一个阶实矩阵，且证明：可以分解成，其中是正交矩阵，是一上三角矩阵,且并证明这个分解是唯一的.2）设是一个阶正定矩阵，证明:存在一上三角矩阵，使得证：1)设个列向量为，它的利用施密特正交化过程，可得正交基的一组基.线性无关，从而是所以，由于其中其中代入各等式左边，移向整理得再将令因为是标准正交基，所以是正交阵

4、，且即为列向量构成矩阵维列向量，以，则是上三角阵，且主对角线上的元素为即若还有于是因为从而即的主对角线元素为正，故而是主对角线上元素为1或-1的对角阵,由7题知是上三角阵,也是正交阵,另一方面,也是正交阵,从而为正交阵,所以的另一种分解，则是使2)因为故由1）知使正定，所以存在可逆矩阵9.证明：正交矩阵的实特征值为±1.证：设利用故有所以由于得再右乘有取共轭转置得的实特征值，即为正交矩阵，为10.证明：奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个特征值.证：设旋转所对应的正交矩阵为由于故的一个特征值.

5、即1为于是为奇数，且那么11.证明：第二类正交变换一定以-1作为它的一个特征值.证：设所以即-1是的一个特征值.由于是第二类正交变换对应的矩阵，则12.设证：先证因为那么它一定是线性的，因而它是正交变换.内积不变，即对于保持的一个变换，证明:如果是欧氏空间所以再证所以故是正交变换.由于即13.设证明:对任一证：因为存在正交矩阵则令使有的特征多项式的根，且是是一实二次型，又有而故14.设证明:存在一证：由于所以存在正交矩阵仍为对称矩阵，又由于使是正定矩阵，所以存在可逆矩阵同时为对角阵.使实可逆矩阵是正

6、定矩阵.实对称矩阵，且是两个令为可逆矩阵，且则使得