线性空间与欧几里得空间

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1、线性空间与欧几里得空间自测题一、填空题1、对欧几里得空间V中的任意向量，有，而且等号成立当且仅当。2、设与是V的两个线性子空间，如果+中的每个向量都可唯一的被表示成，，则称+为这两个子空间的。3、两个同构的线性空间的维数。4、第二类正交变换的行列式的值等于。5、如果A是正交矩阵。若k为实数，使kA为正交矩阵，则k等于。二、选择题6、下列的子集是的子空间的为（）A：B：C：C：7、全体正实数的集合对于下面定义的加法与标量乘法：构成R上的线性空间，则的零元素为（）A：0B:1C:2D:38、若A是正交矩阵，则下列矩阵中仍为正交矩阵的是（多重选择，其中k是的整数）A:kAB:C

2、:交换A的任两行所得的矩阵D：把A的某行k倍加到另一行所得的矩阵9、设A是欧几里得空间V关于基的度量矩阵，则A满足以下哪个条件时，是规范正交基？（）A:A是正交矩阵B：A为对称矩阵C：为正交矩阵D：A为单位矩阵10、以下哪个结论不是两个线性子空间与的和为直和的等价命题：（）A：dimB:C:D:若是的一个基，是的一个基，则，线性无关。三、判断题11、欧几里得空间中任一基下的度量矩阵必为实对称矩阵（）12、正交变换保持向量间的夹角不变（）13、在中，对向量规定，则关于这一实函数成为欧几里得空间。（）14、当数域K和非空集合V固定时，只有惟一的一种方法定义线性空间。（）四、计

3、算题15、集合与是的两个子空间，找出的一个基，并求的维数。16、设U与W分别是的由生成的子空间，求U+W和UW的基和维数。17、在欧几里得空间中求以下各组向量的长度和夹角。（1）（2）18、求由欧几里得空间中的向量所生成的子空间的规范正交基。19、在标准欧几里得空间中，求向量在由向量，生成的子空间上的正交投影。20、设U是n维线性空间V的非平凡子空间，证明：存在不止一个V的子空间W，使21、设为正交矩阵，且。证明：，这里是的代数余子式。22、设为欧几里得空间V的两组向量。证明如果，则子空间与同构。23、设是欧几里得空间V的子空间，.若两两正交，证明：。