欧几里得空间课件.ppt

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1、第九章欧几里得空间习题课基本内容目录下页返回结束例题选讲基本解题方法1一、基本内容首页上页下页返回结束1.基本概念(1)内积与欧氏空间概念(4个条件)(2)向量的长度、距离与夹角长度：距离：夹角：2(3)度量矩阵首页上页下页返回结束3(4)标准正交基由两两正交的单位向量组成的基.(5)正交子空间(6)欧氏空间的同构同构映射保持运算(加法、数乘、内积)首页上页下页返回结束4首页上页下页返回结束2.基本性质设V为欧氏空间,对于V的内积,有:关于标准正交基,有:(4)正交向量组是线性无关的.5首页上页下页返回结束3.标准正交基下基本度量的表达式6首页上页下页返

2、回结束7首页上页下页返回结束4.标准正交基的存在性与正交化方法8首页上页下页返回结束5.正交变换与正交矩阵9标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;首页上页下页返回结束10首页上页下页返回结束6.对称变换与对称矩阵(2)实对称矩阵的特征值都是实数.(1)对称变换的特征值都是实数.主要结论:11首页上页下页返回结束12二、基本解题方法首页上页下页返回结束2.学习欧氏空间,要抓住“内积”这个概念.内积实际上是定义在线性空间V上的二元实函数.它满足对称性、线性性、非负性.1.欧氏空间是一个实数域上的线性空间,对于线性空间的一些基本概念,比如向量的线性相关性

3、、基、维数、坐标、子空间以及有关性质,对欧氏空间都适用.注:同一个线性空间对不同的内积,所作成的欧氏空间一般是不同的.133.对有限维欧氏空间的讨论,标准正交基是核心,在标准正交基下,向量的度量性质显得较为简单.4.用正交化方法求标准正交基,可以从一组基出发,先正交化,得正交基,再单位化(即正交化与单位化分开进行).也可以在正交化过程中的每一步,将所得的向量单位化(即标准化).5.利用线性变换与矩阵的密切关系、内积、标准正交基来研究欧氏空间中的两类重要的线性变换-正交变换和对称变换.首页上页下页返回结束14三、例题选讲首页上页下页返回结束15首页上页下页

4、返回结束16首页上页下页返回结束17首页上页下页返回结束18首页上页下页返回结束19首页上页下页返回结束20首页上页下页返回结束21首页上页下页返回结束22首页上页下页返回结束23首页上页下页返回结束24首页上页下页返回结束25首页上页下页返回结束26首页上页下页返回结束27首页上页下页返回结束28首页上页下页返回结束29首页上页下页返回结束30首页上页下页返回结束31首页上页下页返回结束32首页上页下页返回结束33首页上页下页返回结束34首页上页下页返回结束35首页上页下页返回结束36首页上页下页返回结束37首页上页下页返回结束38首页上页返回结束39